샘플값제어

전기기사 필기 2012년 2회 68번

Q: s평면의 안정 영역과 z평면의 안정 영역은 어떻게 다른가요?

s평면에서는 좌반 평면($\sigma < 0$)이 안정 영역이며, z평면에서는 단위원의 내부($|z| < 1$)가 안정 영역에 해당합니다.

Q: s평면의 허수축은 z평면에서 어디에 위치하게 되나요?

s평면의 허수축은 $\sigma = 0$인 지점이므로, $z = e^{0 \cdot T} = 1$의 크기를 갖는 z평면의 단위원주(반지름이 1인 원의 테두리)가 됩니다.

과목 / 챕터	회로이론 및 제어공학 / 제어공학
인지 유형	memory
난이도	Level 3

Q문제

샘플러의 주기를

T

라 할 때

s

평면상의 모든 점은 식

z = e^{s T}

에 의하여

z

평면상에 사상된다.

s

평면의 좌반 평면상의 모든 점은

z

평면상 단위원의 어느 부분으로 사상되는가?

유사 문제 링크

2012-2-q70 2012-3-q64 2017-2-q64 2012-2-q66 2003-2-q64

선택지 분석

내점

정답 상세 해설

s평면의 좌반 평면은 z평면에서 단위원의 내부(내점)로 사상됩니다.

•

Step 1: s평면의 복소수 변수를

s = σ + j ω

로 정의합니다. 여기서 좌반 평면은 실수부

σ < 0

인 영역을 의미합니다.

•

Step 2: 사상 식

z = e^{s T}

에

s

를 대입하면

z = e^{(σ + j ω) T} = e^{σ T} \cdot e^{j ω T}

가 됩니다. 이때

z

의 크기(절댓값)는

∣ z ∣ = ∣ e^{σ T} ∣ \cdot ∣ e^{j ω T} ∣ = e^{σ T}

입니다.

•

Step 3: 좌반 평면 조건인

σ < 0

을 적용하면

e^{σ T}

는 항상 1보다 작은 값(

0 < e^{σ T} < 1

)을 가집니다. 따라서

∣ z ∣ < 1

이 되어 z평면의 반지름이 1인 단위원 내부의 점으로 사상됩니다.

외점

오답 함정 분석

s평면의 우반 평면(

σ > 0

)이 z평면의 단위원 외점(

∣ z ∣ > 1

)으로 사상됩니다.

원주상의 점

오답 함정 분석

s평면의 허수축(

σ = 0

)이 z평면의 단위원주(

∣ z ∣ = 1

)로 사상됩니다.

z평면 전체

오답 함정 분석

s평면의 특정 영역은 z평면의 특정 영역에 대응하며, 좌반 평면은 단위원 내부라는 한정된 영역으로 사상됩니다.

자주 묻는 질문

s평면의 안정 영역과 z평면의 안정 영역은 어떻게 다른가요?

s평면에서는 좌반 평면(

σ < 0

)이 안정 영역이며, z평면에서는 단위원의 내부(

∣ z ∣ < 1

)가 안정 영역에 해당합니다.

s평면의 허수축은 z평면에서 어디에 위치하게 되나요?

s평면의 허수축은

σ = 0

인 지점이므로,

z = e^{0 \cdot T} = 1

의 크기를 갖는 z평면의 단위원주(반지름이 1인 원의 테두리)가 됩니다.

z = e^{sT} 관계식에서 T는 무엇을 의미하나요?

T는 샘플링 주기(Sampling Period)를 의미하며, 연속 신호를 이산 신호로 변환할 때의 시간 간격을 나타냅니다.

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