안정도판별법

전기기사 필기 2012년 2회 66번

Q: 나이퀴스트 선도를 그릴 때 시작점과 끝점의 위상은 어떻게 구하나요?

전달함수 $G(j\omega)$에 $\omega \to 0$과 $\omega \to \infty$를 대입하여 각각의 극한값에 대한 위상각을 계산하여 구합니다.

Q: 이 전달함수의 궤적이 제3상한에만 존재하는 이유는 무엇인가요?

전달함수를 유리화하여 실수부와 허수부로 분리했을 때, $\omega > 0$인 조건에서 실수부와 허수부의 값이 항상 음수이기 때문에 궤적이 제3상한에만 위치하게 됩니다.

과목 / 챕터	회로이론 및 제어공학 / 제어공학
인지 유형	calculation
난이도	Level 4

Q문제

G (j w) = \frac{K}{j w ( j w + 1 )}

의 나이퀴스트 선도를 도시한 것은? (단,

k > 0

이다.)

유사 문제 링크

2003-2-q64 2016-2-q65 2011-2-q65 2011-2-q63 2016-2-q63

선택지 분석

그림 ①

오답 함정 분석

나이퀴스트 선도의 시작점과 끝점의 위상각이 주어진 전달함수의 주파수 응답 특성과 일치하지 않습니다.

그림 ②

오답 함정 분석

주파수 변화에 따른 궤적이 제3상한이 아닌 다른 상한에 위치하여 잘못된 선도입니다.

그림 ③

정답 상세 해설

주어진 전달함수

G (j ω) = \frac{K}{j ω ( j ω + 1 )}

의 주파수 응답 특성을 분석하여 나이퀴스트 선도의 형태를 결정합니다.

•

Step 1:

ω \to 0^{+}

일 때의 크기와 위상을 구합니다. 크기는 무한대(

\infty

)가 되고, 위상은

∠ G (j 0^{+}) = - 9 0^{\circ} - tan^{- 1} (0) = - 9 0^{\circ}

가 됩니다.

•

Step 2:

ω \to \infty

일 때의 크기와 위상을 구합니다. 크기는

0

이 되고, 위상은

∠ G (j \infty) = - 9 0^{\circ} - tan^{- 1} (\infty) = - 18 0^{\circ}

가 됩니다.

•

Step 3: 실수부와 허수부의 부호를 분석합니다.

G (j ω) = \frac{- K}{ω ^{2} + 1} - j \frac{K}{ω ( ω ^{2} + 1 )}

이므로,

ω > 0

인 모든 구간에서 실수부와 허수부가 모두 음수입니다. 따라서 궤적은 제3상한에만 존재합니다.

•

결론적으로

ω

가

0

에서

\infty

로 변할 때, 궤적은 제3상한에서 무한대 크기의

- 9 0^{\circ}

방향에서 시작하여 원점의

- 18 0^{\circ}

방향으로 수렴하는 형태가 됩니다. 이를 올바르게 나타낸 그림 ③이 정답입니다.

그림 ④

오답 함정 분석

주파수

ω \to \infty

일 때 원점으로 수렴하는 위상각이

- 18 0^{\circ}

가 아닌 다른 각도로 표현되어 있습니다.

자주 묻는 질문

나이퀴스트 선도를 그릴 때 시작점과 끝점의 위상은 어떻게 구하나요?

전달함수

G (j ω)

에

ω \to 0

과

ω \to \infty

를 대입하여 각각의 극한값에 대한 위상각을 계산하여 구합니다.

이 전달함수의 궤적이 제3상한에만 존재하는 이유는 무엇인가요?

전달함수를 유리화하여 실수부와 허수부로 분리했을 때,

ω > 0

인 조건에서 실수부와 허수부의 값이 항상 음수이기 때문에 궤적이 제3상한에만 위치하게 됩니다.

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