상태공간해석

전기기사 필기 2012년 1회 61번

시스템 행렬 $A$의 특성방정식 $|sI - A| = 0$을 풀어 고유값을 구합니다. 모든 고유값의 실수부가 음수이면 안정, 하나라도 양수이면 불안정, 실수부가 0인 고유값이 존재하면 임계안정으로 판별합니다.

네, 같습니다. 상태공간 모델에서 시스템 행렬 $A$의 고유값은 전달함수의 극점(Pole)과 동일하며, 이 극점의 위치에 따라 시스템의 안정도가 결정됩니다.

Q문제

상태방정식

\overset{x}{˙} = A x (t) + B u (t)

에서

A = [0 - 2 1 - 3]

인 시스템의 안정도는 어떠한가?

유사 문제 링크

선택지 분석

안정하다.

시스템 행렬

A

의 특성방정식을 구하여 고유값을 확인한 결과, 모든 고유값이 음수이므로 시스템은 안정합니다.

•

Step 1: 특성방정식 도출 특성방정식은

∣ s I - A ∣ = 0

으로 구합니다.

s I - A = [s 0 0 s] - [0 - 2 1 - 3] = [s 2 - 1 s + 3]

입니다.

•

Step 2: 행렬식 계산 및 고유값 산출

∣ s I - A ∣ = s (s + 3) - (- 1) (2) = s^{2} + 3 s + 2 = 0

입니다. 방정식을 인수분해하면

(s + 1) (s + 2) = 0

이므로, 고유값은

s = - 1, - 2

입니다.

•

Step 3: 안정도 판별 구해진 고유값

s = - 1

과

s = - 2

는 모두 실수부가 음수입니다. 제어계의 모든 특성근(고유값)이 s-평면의 좌반면에 위치하므로 이 시스템은 안정합니다.

불안정하다.

시스템 행렬 A의 고유값이 모두 음의 실수부를 가지므로 시스템은 안정합니다.

임계안정하다.

고유값의 실수부가 0인 경우가 존재해야 임계안정하지만, 이 시스템의 고유값은 모두 음의 실수부를 가집니다.

판정불능

시스템 행렬 A가 주어졌으므로 특성방정식을 통해 안정도를 명확히 판정할 수 있습니다.

상태방정식에서 시스템의 안정도는 어떻게 판별하나요?

시스템 행렬

A

의 특성방정식

∣ s I - A ∣ = 0

을 풀어 고유값을 구합니다. 모든 고유값의 실수부가 음수이면 안정, 하나라도 양수이면 불안정, 실수부가 0인 고유값이 존재하면 임계안정으로 판별합니다.

특성방정식의 근과 시스템의 극점은 같은 의미인가요?

네, 같습니다. 상태공간 모델에서 시스템 행렬

A

의 고유값은 전달함수의 극점(Pole)과 동일하며, 이 극점의 위치에 따라 시스템의 안정도가 결정됩니다.