상태공간해석

전기기사 필기 2007년 1회 73번

초기 시간에서의 상태 $X(0)$를 임의의 시간 $t$에서의 상태 $X(t)$로 전이시켜 주는 역할을 하는 행렬입니다.

Q문제

상태방정식

\dot{X} (t) = A X (t)

으로 표시되는 제어계가 있다. 이 방정식의 해는 어떻게 되는가? (단,

X (0)

는 초기상태 벡터이다)

유사 문제 링크

선택지 분석

e^{-At}X(0)

지수 항의 부호가 음수(-)로 잘못 표기되어 시스템의 시간 응답을 올바르게 나타내지 못합니다.

e^{At}X(0)

선형 시불변 시스템의 제차 상태방정식 해는 상태전이행렬과 초기 상태 벡터의 곱으로 결정됩니다.

•

Step 1: 주어진 상태방정식

\dot{X} (t) = A X (t)

의 양변을 라플라스 변환하면

s X (s) - X (0) = A X (s)

가 됩니다.

•

Step 2:

X (s)

를 포함한 항을 좌변으로 정리하면

(s I - A) X (s) = X (0)

이 되며, 이를 정리하면

X (s) = (s I - A)^{- 1} X (0)

이 도출됩니다.

•

Step 3: 위 식을 라플라스 역변환하면

X (t) = L^{- 1} [(s I - A)^{- 1}] X (0) = e^{A t} X (0)

이 됩니다. 여기서

e^{A t}

는 상태전이행렬입니다.

A \cdot e^{- A t} X (0)

행렬 A가 불필요하게 곱해져 있으며 지수 항의 부호 또한 반대로 작성된 오답입니다.

A \cdot e^{A t} X (0)

행렬 A가 곱해진 형태는 상태방정식의 해가 아니라 상태 벡터의 미분값

\dot{X} (t)

에 해당합니다.

상태전이행렬

e^{A t}

는 어떤 의미를 갖나요?

초기 시간에서의 상태

X (0)

를 임의의 시간

t

에서의 상태

X (t)

로 전이시켜 주는 역할을 하는 행렬입니다.

라플라스 변환을 이용하지 않고도 해를 구할 수 있나요?

변수분리법과 유사한 행렬 지수 함수 정의를 통해 직접 적분하여 구할 수 있으나, 일반적으로 라플라스 변환을 통한 유도가 가장 명확합니다.