샘플값제어

전기기사 필기 2011년 2회 68번

Q문제

R (z) = \frac{( 1 - e ^{- a T} ) z}{( z - 1 ) ( z - e ^{- a T} )}

의 역변환은?

유사 문제 링크

선택지 분석

1 - e^{- ak T}

주어진 Z변환 함수

R (z)

를 부분분수로 전개하여 역변환을 수행하면

1 - e^{- ak T}

가 됩니다.

•

Step 1: 주어진 식

R (z)

의 양변을

z

로 나누어 부분분수 전개를 준비합니다.

\frac{R ( z )}{z} = \frac{1 - e ^{- a T}}{( z - 1 ) ( z - e ^{- a T} )}

•

Step 2: 부분분수로 전개합니다.

\frac{R ( z )}{z} = \frac{A}{z - 1} + \frac{B}{z - e ^{- a T}}

로 두고 상수 A, B를 구합니다.

A = \frac{1 - e ^{- a T}}{z - e ^{- a T}}_{z = 1} = 1

B = \frac{1 - e ^{- a T}}{z - 1}_{z = e^{- a T}} = - 1

이므로

\frac{R ( z )}{z} = \frac{1}{z - 1} - \frac{1}{z - e ^{- a T}}

가 됩니다.

•

Step 3: 양변에 다시

z

를 곱하여

R (z)

를 구합니다.

R (z) = \frac{z}{z - 1} - \frac{z}{z - e ^{- a T}}

•

Step 4: Z변환표를 이용하여 각 항을 역변환합니다.

\frac{z}{z - 1}

의 역변환은

1

이고,

\frac{z}{z - e ^{- a T}}

의 역변환은

e^{- ak T}

이므로, 최종 역변환 결과는

1 - e^{- ak T}

입니다.

1 + e^{- ak T}

부분분수 전개 시 상수의 부호를 잘못 계산하여 뺄셈을 덧셈으로 착각한 오답입니다.

t e^{- a T}

Z변환의 기본 형태와 무관한 시간 함수를 제시한 오답입니다.

t e^{a T}

Z변환의 기본 형태와 무관하며 지수부의 부호까지 잘못된 오답입니다.

Z변환의 역변환을 구할 때 왜 R(z)/z 형태로 부분분수를 전개하나요?

Z변환표에 있는 기본 함수들의 형태가 대부분 분자에 z를 포함하고 있기 때문입니다. R(z)/z를 부분분수로 전개한 후 다시 z를 곱해주면 역변환하기 쉬운 표준 형태로 만들 수 있습니다.

z/(z-e^{-aT})의 역변환은 어떻게 구하나요?

지수 감쇠 함수 e^{-at}를 샘플링한 e^{-akT}의 Z변환이 z/(z-e^{-aT})입니다. 따라서 이를 역변환하면 e^{-akT}가 됩니다.