라플라스변환

전기기사 필기 2011년 1회 78번

분모를 $(s-a)^2 + \omega^2$ 형태로 변환해야 복소추이 정리와 삼각함수의 기본 라플라스 변환 공식을 적용하여 시간 영역의 함수로 쉽게 역변환할 수 있기 때문입니다.

시간 영역의 함수 $f(t)$에 지수함수 $e^{at}$가 곱해지면, 라플라스 변환 영역에서는 $s$ 대신 $s-a$로 평행 이동하는 성질을 말합니다.

Q문제

라플라스 변환함수

F (s) = \frac{s + 2}{s ^{2} + 4 s + 13}

에 대한 역변환 함수

f (t)

는?

유사 문제 링크

선택지 분석

e^{- 2 t} cos 3 t

주어진 라플라스 변환함수를 완전제곱식 형태로 변형하여 역변환 공식을 적용하면

e^{- 2 t} cos 3 t

가 됩니다.

•

Step 1: 분모를 완전제곱식 형태로 변환합니다.

s^{2} + 4 s + 13 = (s^{2} + 4 s + 4) + 9 = (s + 2)^{2} + 3^{2}

•

Step 2: 주어진 함수

F (s)

를 다시 씁니다.

F (s) = \frac{s + 2}{( s + 2 ) ^{2} + 3 ^{2}}

•

Step 3: 복소추이 정리와 코사인 함수의 라플라스 역변환 공식을 적용합니다.

L^{- 1} {\frac{s - a}{( s - a ) ^{2} + ω ^{2}}} = e^{a t} cos ω t

이므로,

a = - 2, ω = 3

을 대입하면

f (t) = e^{- 2 t} cos 3 t

가 됩니다.

e^{- 3 t} cos 3 t

지수함수의 지수부 계수를 분모의 상수항과 혼동하여

e^{- 3 t}

로 잘못 적용한 오답입니다.

e^{3 t} cos 2 t

지수함수와 삼각함수의 계수를 서로 반대로 적용한 오답입니다.

e^{2 t} cos 3 t

복소추이 정리에서 부호를 반대로 적용하여

e^{2 t}

로 잘못 계산한 오답입니다.

라플라스 역변환에서 분모를 완전제곱식으로 바꾸는 이유는 무엇인가요?

분모를

(s - a)^{2} + ω^{2}

형태로 변환해야 복소추이 정리와 삼각함수의 기본 라플라스 변환 공식을 적용하여 시간 영역의 함수로 쉽게 역변환할 수 있기 때문입니다.

복소추이 정리란 무엇인가요?

시간 영역의 함수

f (t)

에 지수함수

e^{a t}

가 곱해지면, 라플라스 변환 영역에서는

s

대신

s - a

로 평행 이동하는 성질을 말합니다.