$\cos \omega t$와 $\sin \omega t$의 라플라스 변환 공식은 어떻게 되나요?

$\mathcal{L}\{\cos \omega t\} = \frac{s}{s^2 + \omega^2}$ 이며, $\mathcal{L}\{\sin \omega t\} = \frac{\omega}{s^2 + \omega^2}$ 입니다.

문제 탐색

라플라스변환

전기기사 필기 2007년 1회 71번

Q: 복소추이 정리(제1이동 정리)란 무엇인가요?

시간 영역의 함수 $f(t)$에 지수 함수 $e^{-at}$가 곱해진 경우, 라플라스 변환된 $s$ 영역의 함수 $F(s)$에서 $s$ 대신 $s+a$를 대입하는 정리입니다.

과목 / 챕터	회로이론 및 제어공학 / 회로이론
인지 유형	calculation
난이도	Level 3

Q문제

함수

f (t) = e^{- 2 t} cos 3 t

의 라플라스 변환은?

유사 문제 링크

2016-1-q80 2011-1-q80 2016-1-q77 2011-1-q77 2011-1-q74

선택지 분석

F (s) = \frac{s + 2}{s ^{2} + 4 s + 13}

정답 상세 해설

주어진 함수

f (t) = e^{- 2 t} cos 3 t

의 라플라스 변환은 복소추이 정리(제1이동 정리)를 이용하여 구합니다.

•

Step 1: 기본 함수

cos 3 t

의 라플라스 변환을 구합니다.

L {cos ω t} = \frac{s}{s ^{2} + ω ^{2}}

이므로,

L {cos 3 t} = \frac{s}{s ^{2} + 3 ^{2}} = \frac{s}{s ^{2} + 9}

입니다.

•

Step 2: 복소추이 정리에 따라

e^{- a t} f (t)

의 라플라스 변환은

F (s + a)

가 됩니다. 주어진 함수에는

e^{- 2 t}

가 곱해져 있으므로

a = 2

입니다.

•

Step 3: Step 1에서 구한 식의

s

대신

s + 2

를 대입합니다.

F (s) = \frac{s + 2}{( s + 2 ) ^{2} + 9} = \frac{s + 2}{s ^{2} + 4 s + 4 + 9} = \frac{s + 2}{s ^{2} + 4 s + 13}

입니다.

F (s) = \frac{s - 2}{s ^{2} + 4 s + 13}

오답 함정 분석

복소추이 정리 적용 시 분자에 s+2 대신 s-2를 대입하여 잘못 도출된 오답입니다.

F (s) = \frac{s + 2}{s ^{2} + 4 s - 5}

오답 함정 분석

분모를 (s+2)^2 + 9가 아닌 (s+2)^2 - 9로 잘못 계산하여 상수항이 -5가 된 오답입니다.

F (s) = \frac{s - 2}{s ^{2} + 4 s - 5}

오답 함정 분석

분자에 s-2를 대입하고, 분모의 부호를 잘못 적용하여 (s+2)^2 - 9로 계산한 오답입니다.

자주 묻는 질문

복소추이 정리(제1이동 정리)란 무엇인가요?

시간 영역의 함수

f (t)

에 지수 함수

e^{- a t}

가 곱해진 경우, 라플라스 변환된

s

영역의 함수

F (s)

에서

s

대신

s + a

를 대입하는 정리입니다.

cos ω t

와

sin ω t

의 라플라스 변환 공식은 어떻게 되나요?

L {cos ω t} = \frac{s}{s ^{2} + ω ^{2}}

이며,

L {sin ω t} = \frac{ω}{s ^{2} + ω ^{2}}

입니다.

이 문제 바로 풀기