과도현상

전기기사 필기 2011년 1회 77번

RC 회로에서 시정수 $\tau = RC$는 과도 응답의 속도를 나타내는 지표입니다. 방전 시 전류가 초깃값의 약 36.8%($e^{-1}$)로 감소하는 데 걸리는 시간을 의미합니다.

Q문제

그림과 같은 회로에

t = 0

에서

S

를 닫을 때의 방전 과도 전류

i (t) [A]

는?

유사 문제 링크

선택지 분석

\frac{Q}{R C} e^{- \frac{t}{R C}}

RC 직렬 회로의 방전 과도 전류는 초기 전류값에서 시작하여 지수 함수적으로 감소하는 형태를 가집니다.

•

Step 1: 스위치 S를 닫기 전 커패시터에 충전된 전하량이

Q

이므로, 초기 전압

V_{0}

는

V_{0} = \frac{Q}{C}

입니다.

•

Step 2: 스위치 S를 닫은 후

t \geq 0

에서의 회로 방정식은 키르히호프의 전압 법칙에 의해

R i (t) + \frac{1}{C} \int_{0}^{t} i (τ) d τ - V_{0} = 0

입니다.

•

Step 3: 위 미분방정식을 풀면 방전 전류

i (t) = \frac{V _{0}}{R} e^{- \frac{t}{R C}}

가 되며,

V_{0} = \frac{Q}{C}

를 대입하면 최종적으로

i (t) = \frac{Q}{R C} e^{- \frac{t}{R C}}

가 됩니다.

\frac{Q}{R C} e^{\frac{t}{R C}}

지수 부분이 양수이므로 시간이 지남에 따라 전류가 무한대로 발산하는 잘못된 수식입니다.

\frac{Q}{R C} (1 + e^{- \frac{t}{R C}})

정상 상태(t가 무한대일 때)에서 전류가 0이 되지 않고 상숫값을 가지는 형태이므로 방전 전류의 물리적 특성과 맞지 않습니다.

\frac{1}{R C} (1 - e^{- \frac{t}{R C}})

초기 전류값이 다르고, 정상 상태에서 전류가 0이 되지 않는 형태이므로 방전 전류의 특성과 맞지 않습니다.

RC 직렬 회로에서 방전 시 전류가 왜 지수적으로 감소하나요?

커패시터에 충전된 전하가 저항을 통해 소모되면서 커패시터의 전압이 점차 낮아지기 때문입니다. 전압이 낮아짐에 따라 옴의 법칙에 의해 흐르는 전류도 지수 함수적으로 감소하게 됩니다.

수식에서 시정수(Time Constant)는 무엇을 의미하나요?

RC 회로에서 시정수

τ = R C

는 과도 응답의 속도를 나타내는 지표입니다. 방전 시 전류가 초깃값의 약 36.8%(

e^{- 1}

)로 감소하는 데 걸리는 시간을 의미합니다.