라플라스변환

전기기사 필기 2017년 1회 76번

시간 영역에서 함수가 a만큼 지연된 $f(t-a)u(t-a)$의 라플라스 변환은 원래 함수의 라플라스 변환 $F(s)$에 $e^{-as}$를 곱한 것과 같다는 정리입니다.

Q문제

그림과 같은 구형파의 라플라스 변환은?

유사 문제 링크

선택지 분석

\frac{2}{s} (1 - e^{4 s})

시간 지연 정리를 적용할 때 지수부의 부호를 음수가 아닌 양수로 잘못 적용한 오답입니다.

\frac{2}{s} (1 - e^{- 4 s})

주어진 구형파 함수의 라플라스 변환 결과는

\frac{2}{s} (1 - e^{- 4 s})

입니다.

•

Step 1: 주어진 파형 f(t)를 단위 계단 함수 u(t)를 이용하여 수식으로 표현합니다. t=0에서 진폭이 2로 상승하고, t=4에서 진폭이 0으로 하강하므로

f (t) = 2 u (t) - 2 u (t - 4)

로 나타낼 수 있습니다.

•

Step 2: 단위 계단 함수

u (t)

의 라플라스 변환은

\frac{1}{s}

이며, 시간 지연 정리(Time Shift Theorem)에 의해

u (t - a)

의 라플라스 변환은

\frac{1}{s} e^{- a s}

입니다.

•

Step 3: 각 항을 라플라스 변환하면

L {f (t)} = 2 \cdot \frac{1}{s} - 2 \cdot \frac{1}{s} e^{- 4 s} = \frac{2}{s} (1 - e^{- 4 s})

가 됩니다.

\frac{4}{s} (1 - e^{4 s})

진폭을 2가 아닌 4로 잘못 적용하고, 시간 지연 정리의 지수부 부호도 양수로 잘못 적용한 오답입니다.

\frac{4}{s} (1 - e^{- 4 s})

파형의 진폭을 2가 아닌 4로 잘못 파악하여 적용한 오답입니다.

구형파를 단위 계단 함수로 어떻게 표현하나요?

구형파는 시작 시간에서 상승하는 단위 계단 함수와 끝나는 시간에서 하강하는 단위 계단 함수의 차이로 표현합니다. 진폭이 A이고 t=a에서 시작하여 t=b에서 끝나는 구형파는

A [u (t - a) - u (t - b)]

로 나타냅니다.

시간 지연 정리란 무엇인가요?

시간 영역에서 함수가 a만큼 지연된

f (t - a) u (t - a)

의 라플라스 변환은 원래 함수의 라플라스 변환

F (s)

에

e^{- a s}

를 곱한 것과 같다는 정리입니다.