안정도판별법

전기기사 필기 2009년 2회 72번

Q문제

어떤 제어계의 전달함수

G (S) = \frac{S}{( S + 2 ) ( S ^{2} + 2 S + 2 )}

에서 안정성을 판별하면?

유사 문제 링크

선택지 분석

안정하다.

주어진 전달함수의 특성방정식의 모든 근(극점)이 s-평면의 좌반면에 위치하므로 이 제어계는 안정합니다.

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Step 1: 제어계의 안정도를 판별하기 위해 전달함수

G (S)

의 분모를 0으로 만드는 특성방정식을 구합니다. 특성방정식은

(S + 2) (S^{2} + 2 S + 2) = 0

입니다.

•

Step 2: 특성방정식의 근(극점)을 계산합니다. 첫 번째 인수에서

S = - 2

를 얻습니다. 두 번째 인수

S^{2} + 2 S + 2 = 0

에 근의 공식을 적용하면

S = \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}{2} = - 1 \pm j

가 됩니다.

•

Step 3: 구해진 모든 극점

S = - 2

S = - 1 + j

S = - 1 - j

의 실수부가 각각 -2, -1, -1로 모두 음수입니다. 시스템의 모든 극점이 s-평면의 좌반면에 존재하므로 해당 제어계는 안정합니다.

불안정하다.

특성방정식의 근 중 실수부가 양수인 우반면 극점이 존재할 때 불안정하지만, 주어진 시스템은 모든 극점의 실수부가 음수입니다.

임계상태이다.

특성방정식의 근 중 실수부가 0인 허수축 상의 극점이 존재해야 임계상태이지만, 주어진 시스템은 허수축 상의 극점이 없습니다.

알 수 없다.

전달함수가 명확히 주어졌으므로 특성방정식의 근을 계산하여 안정성을 확실하게 판별할 수 있습니다.

제어계의 안정성은 어떻게 판별하나요?

전달함수의 분모를 0으로 만드는 특성방정식의 근(극점)을 구하여 판별합니다. 모든 극점의 실수부가 음수이면 안정, 하나라도 양수이면 불안정, 실수부가 0인 극점이 존재하면 임계상태입니다.

루스-후르비츠(Routh-Hurwitz) 판별법을 사용하지 않고 근을 직접 구해도 되나요?

네, 가능합니다. 특성방정식이 인수분해되어 있거나 2차 이하의 다항식으로 구성되어 있어 근을 직접 구하기 쉬운 경우에는 근을 직접 계산하여 실수부의 부호를 확인하는 것이 더 직관적이고 빠릅니다.