전달함수에서 주파수 응답을 구할 때 왜 $s$ 대신 $j\omega$를 대입하나요?

주파수 응답은 시스템이 정현파 입력에 대해 정상 상태에서 보이는 응답을 의미합니다. 라플라스 변환 변수 $s = \sigma + j\omega$에서 과도 상태를 나타내는 실수부 $\sigma$를 0으로 두면 정상 상태의 주파수 특성만을 해석할 수 있기 때문입니다.

문제 탐색

정상오차와 주파수응답

전기기사 필기 2006년 2회 80번

Q: 복소수 $-10$의 위상각이 왜 $-180^\circ$가 되나요?

복소평면에서 가로축은 실수부, 세로축은 허수부를 나타냅니다. $-10$은 허수부가 0이고 실수부가 음수인 값이므로, 원점에서 왼쪽 실수축 방향에 위치합니다. 따라서 양의 실수축을 기준으로 측정한 각도는 $180^\circ$ 또는 $-180^\circ$가 됩니다.

과목 / 챕터	회로이론 및 제어공학 / 제어공학
인지 유형	calculation
난이도	Level 4

Q문제

G (s) = \frac{1}{0.005 s ( 0.1 s + 1 ) ^{2}}

에서

ω = 10 [r a d / s]

일 때의 이득 및 위상각은?

유사 문제 링크

2011-3-q61 2004-3-q70 2020-2-q66 2010-3-q63 2010-3-q65

선택지 분석

20dB, -180°

정답 상세 해설

주어진 전달함수

G (s)

에

s = j ω

를 대입하여 이득과 위상각을 계산합니다.

•

Step 1:

ω = 10

이므로

s = j 10

을 전달함수에 대입합니다.

G (j 10) = \frac{1}{0.005 ( j 10 ) ( 0.1 ( j 10 ) + 1 ) ^{2}}

•

Step 2: 분모의 수식을 정리합니다.

0.005 (j 10) = j 0.05

이고,

(0.1 (j 10) + 1)^{2} = (1 + j)^{2} = 1 + 2 j + j^{2} = 2 j

입니다.

•

Step 3: 정리된 분모 값을 곱합니다.

j 0.05 \times 2 j = 0.1 j^{2} = - 0.1

이 됩니다.

•

Step 4:

G (j 10)

의 최종 복소수 값을 구합니다.

G (j 10) = \frac{1}{- 0.1} = - 10

입니다.

•

Step 5: 이득(dB)을 계산합니다. 이득

= 20 lo g_{10} ∣ G (j 10) ∣ = 20 lo g_{10} ∣ - 10∣ = 20 lo g_{10} (10) = 20

[dB]입니다.

•

Step 6: 위상각을 계산합니다.

G (j 10) = - 10

은 음의 실수이므로 복소평면에서 위상각은

- 18 0^{\circ}

입니다.

20dB, -90°

오답 함정 분석

위상각 계산 시 복소수가 순허수일 때의 각도인 -90°로 잘못 계산한 오답입니다.

40dB, -180°

오답 함정 분석

이득 계산 시 진수 값을 잘못 구하여 40dB로 도출한 오답입니다.

40dB, -90°

오답 함정 분석

이득과 위상각 모두 계산 과정에서 오류가 발생한 오답입니다.

자주 묻는 질문

전달함수에서 주파수 응답을 구할 때 왜

s

대신

j ω

를 대입하나요?

주파수 응답은 시스템이 정현파 입력에 대해 정상 상태에서 보이는 응답을 의미합니다. 라플라스 변환 변수

s = σ + j ω

에서 과도 상태를 나타내는 실수부

σ

를 0으로 두면 정상 상태의 주파수 특성만을 해석할 수 있기 때문입니다.

복소수

- 10

의 위상각이 왜

- 18 0^{\circ}

가 되나요?

복소평면에서 가로축은 실수부, 세로축은 허수부를 나타냅니다.

- 10

은 허수부가 0이고 실수부가 음수인 값이므로, 원점에서 왼쪽 실수축 방향에 위치합니다. 따라서 양의 실수축을 기준으로 측정한 각도는

18 0^{\circ}

또는

- 18 0^{\circ}

가 됩니다.

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