정전용량

전기기사 필기 2009년 1회 11번

Q: 동심원통의 정전용량 공식에서 분모에 왜 자연로그가 들어가나요?

가우스 법칙을 이용하여 원통 사이의 전계를 구하면 거리에 반비례하는 형태($1/r$)가 되며, 이를 적분하여 전위차를 구하는 과정에서 자연로그($\ln$)가 도출되기 때문입니다.

Q: 단위 길이당 정전용량과 전체 정전용량의 차이는 무엇인가요?

단위 길이당 정전용량은 $C_0 = \frac{2\pi\epsilon_0}{\ln(b/a)} [F/m]$이며, 전체 정전용량은 여기에 원통의 실제 길이 $l$을 곱하여 $C = C_0 \times l [F]$로 계산합니다.

과목 / 챕터	전기자기학 / 진공 중의 도체계
인지 유형	calculation
난이도	Level 4

Q문제

반지름이

1 c m

와

2 c m

인 동심원통의 길이가

50 c m

일 때, 이것의 정전용량은 약 몇

[pF]

인가? (단, 내원통에

+ λ [C / m]

, 외원통에

- λ [C / m]

인 전하를 준다고 한다.)

유사 문제 링크

2010-3-q19 2013-1-q11 2020-2-q17 2021-2-q18 2006-1-q13

선택지 분석

0.56pF

오답 함정 분석

동심원통의 정전용량 공식에 대입할 때, 원통의 길이 l을 곱하지 않고 단위 길이당 정전용량으로 잘못 계산한 결과입니다.

34pF

오답 함정 분석

분모의 자연로그(ln) 대신 상용로그(log)를 사용하거나 진공의 유전율 값을 잘못 적용하여 도출된 오답입니다.

40pF

정답 상세 해설

주어진 조건의 동심원통 정전용량은 약 40pF입니다.

•

Step 1: 동심원통의 정전용량 공식을 확인합니다. 길이가

l

인 동심원통의 정전용량

C = \frac{2 π ϵ _{0} l}{l n ( b / a )}

입니다.

•

Step 2: 문제에 주어진 조건들을 SI 단위로 변환합니다. 내원통 반지름

a = 1 c m = 0.01 m

, 외원통 반지름

b = 2 c m = 0.02 m

, 원통의 길이

l = 50 c m = 0.5 m

이며, 진공의 유전율

ϵ_{0} = 8.854 \times 1 0^{- 12} F / m

입니다.

•

Step 3: 공식에 값들을 대입하여 계산합니다.

C = \frac{2 π \times 8.854 \times 1 0 ^{- 12} \times 0.5}{l n ( 0.02/0.01 )} = \frac{π \times 8.854 \times 1 0 ^{- 12}}{l n ( 2 )} \approx \frac{27.816 \times 1 0 ^{- 12}}{0.693} \approx 40.1 \times 1 0^{- 12} F

이므로, 약

40 pF

이 됩니다.

141pF

오답 함정 분석

분모의 자연로그 항을 역수로 곱하거나, 반지름 비율을 잘못 적용하여 계산된 오답입니다.

자주 묻는 질문

동심원통의 정전용량 공식에서 분모에 왜 자연로그가 들어가나요?

가우스 법칙을 이용하여 원통 사이의 전계를 구하면 거리에 반비례하는 형태(

1/ r

)가 되며, 이를 적분하여 전위차를 구하는 과정에서 자연로그(

ln

)가 도출되기 때문입니다.

단위 길이당 정전용량과 전체 정전용량의 차이는 무엇인가요?

단위 길이당 정전용량은

C_{0} = \frac{2 π ϵ _{0}}{l n ( b / a )} [F / m]

이며, 전체 정전용량은 여기에 원통의 실제 길이

l

을 곱하여

C = C_{0} \times l [F]

로 계산합니다.

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