상태공간해석

전기기사 필기 2006년 2회 71번

감쇠진동($0 < \zeta < 1$)은 시간이 지남에 따라 진폭이 줄어들며 수렴하는 진동이고, 등폭진동($\zeta = 0$)은 진폭의 변화 없이 일정하게 유지되는 진동입니다.

Q문제

특성방정식

s^{2} + 2 ζ ω_{n} s + ω_{n}^{2} = 0

에서 감쇠진동을 하는 제동비

ζ

의 값에 해당되는 것은?

유사 문제 링크

선택지 분석

ζ > 1

제동비가 1보다 큰 경우는 과제동(Over-damped) 상태로, 진동 없이 지수함수적으로 수렴하는 특성을 보입니다.

ζ = 1

제동비가 1인 경우는 임계제동(Critically damped) 상태로, 진동이 나타나지 않으면서 가장 빠르게 수렴하는 상태입니다.

ζ = 0

제동비가 0인 경우는 무제동(Undamped) 상태로, 감쇠 성분이 없어 일정한 진폭으로 영원히 진동하는 등폭 진동을 합니다.

0 < ζ < 1

제동비

ζ

가 0과 1 사이일 때 시스템은 복소근을 가지며 감쇠진동 응답을 나타냅니다.

•

Step 1: 2차 제어계의 특성방정식

s^{2} + 2 ζ ω_{n} s + ω_{n}^{2} = 0

의 근을 근의 공식으로 구하면

s = - ζ ω_{n} \pm j ω_{n} 1 - ζ^{2}

가 됩니다.

•

Step 2: 시스템이 진동을 하면서 점차 감쇠하기 위해서는 특성근이 공액 복소수 형태를 가져야 하므로 판별식

D /4 = (ζ ω_{n})^{2} - ω_{n}^{2} < 0

을 만족해야 합니다.

•

Step 3: 위 식을 정리하면

ζ^{2} < 1

이 되며, 안정적인 시스템에서 제동비는 양수여야 하므로 최종적인 범위는

0 < ζ < 1

이 됩니다.

제동비가 1보다 크면 왜 진동이 발생하지 않나요?

제동비가 1보다 크면 특성방정식의 근이 서로 다른 두 실근을 갖게 되어, 응답이 진동 성분인 사인파 형태가 아닌 지수함수의 합으로만 표현되기 때문입니다.

감쇠진동과 등폭진동의 차이는 무엇인가요?

감쇠진동(

0 < ζ < 1

)은 시간이 지남에 따라 진폭이 줄어들며 수렴하는 진동이고, 등폭진동(

ζ = 0

)은 진폭의 변화 없이 일정하게 유지되는 진동입니다.