근궤적과 자동제어의 보상

전기기사 필기 2013년 2회 70번

Q: 이탈점을 구하는 공식은 어떻게 되나요?

특성방정식 $1 + G(s)H(s) = 0$을 이득 $K$에 대해 정리한 후, $s$에 대해 미분한 값 $\frac{dK}{ds} = 0$을 만족하는 $s$를 찾으면 됩니다.

과목 / 챕터	회로이론 및 제어공학 / 제어공학
인지 유형	calculation
난이도	Level 3

Q문제

개루프 전달함수

G (s) H (s) = \frac{K}{s ( s + 3 ) ^{2}}

의 이탈점에 해당되는 것은?

유사 문제 링크

2009-3-q68 2008-1-q78 2013-3-q62 2006-1-q79 2022-2-q66

선택지 분석

오답 함정 분석

이탈점은 실수축의 근궤적 구간 내에 존재해야 하며, 양수 값은 근궤적 상에 존재하지 않습니다.

-1

정답 상세 해설

개루프 전달함수의 특성방정식을 이용하여 이탈점을 구하면

s = - 1

이 됩니다.

•

Step 1: 특성방정식 구성 특성방정식은

1 + G (s) H (s) = 0

이므로,

1 + \frac{K}{s ( s + 3 ) ^{2}} = 0

입니다. 이를

K

에 대해 정리하면

K = - s (s + 3)^{2} = - (s^{3} + 6 s^{2} + 9 s)

가 됩니다.

•

Step 2:

K

를

s

에 대해 미분하여 0이 되는 값 찾기 이탈점을 구하기 위해

\frac{d K}{d s} = 0

을 계산합니다.

\frac{d K}{d s} = - (3 s^{2} + 12 s + 9) = - 3 (s^{2} + 4 s + 3) = - 3 (s + 1) (s + 3) = 0

입니다. 따라서

s = - 1

또는

s = - 3

입니다.

•

Step 3: 유효한 이탈점 판별 근궤적은 실수축 상에서 극점

s = 0

과

s = - 3

사이에 존재해야 하므로, 이 구간에 포함되는

s = - 1

이 유효한 이탈점입니다. (

s = - 3

은 중극점입니다.)

오답 함정 분석

이탈점은 실수축의 근궤적 구간 내에 존재해야 하며, 양수 값은 근궤적 상에 존재하지 않습니다.

-2

오답 함정 분석

특성방정식을 K에 대해 정리한 후 미분하여 0이 되는 해를 구하면 -2가 아닌 -1과 -3이 도출됩니다.

자주 묻는 질문

이탈점은 무엇을 의미하나요?

이탈점(Breakaway point)은 실수축 상에서 마주 보며 이동하던 두 근궤적이 만나서 복소수 평면으로 갈라져 나가는 점을 의미합니다.

이탈점을 구하는 공식은 어떻게 되나요?

특성방정식

1 + G (s) H (s) = 0

을 이득

K

에 대해 정리한 후,

s

에 대해 미분한 값

\frac{d K}{d s} = 0

을 만족하는

s

를 찾으면 됩니다.

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