샘플값제어

전기기사 필기 2008년 1회 78번

Q: Z변환에서 무한 등비급수의 합 공식은 어떻게 적용되나요?

Z변환은 $\sum_{n=0}^{\infty} r^n$ 형태의 무한 등비급수로 표현되며, $|r| < 1$일 때 $\frac{1}{1-r}$로 수렴합니다. 이 문제에서는 $r = e^{-at}z^{-1}$이므로 $\frac{1}{1-e^{-at}z^{-1}}$이 되고, 분모와 분자에 $z$를 곱하여 $\frac{z}{z-e^{-at}}$로 정리합니다.

Q: 문제의 $f(t)$에서 $t$는 연속시간 변수인데 어떻게 Z변환을 하나요?

제어공학에서 연속시간 함수를 Z변환할 때는 암묵적으로 샘플링 주기 $T$를 적용하여 이산화($t=nT$)한 후 변환합니다. 이 기출문제에서는 샘플링 주기 기호 대신 $t$를 상수로 취급하여 선지에 그대로 표현한 관례적인 표기법을 따르고 있습니다.

과목 / 챕터	회로이론 및 제어공학 / 제어공학
인지 유형	calculation
난이도	Level 1

Q문제

f (t) = e^{- a t}

의

z

변환은?

유사 문제 링크

2013-3-q62 2006-1-q79 2022-2-q66 2009-1-q79 2009-1-q71

선택지 분석

\frac{1}{z - e ^{- a t}}

오답 함정 분석

무한 등비급수의 합을 구한 뒤 분모와 분자에 z를 곱하는 과정이 누락되어 분자에 z가 없습니다.

\frac{1}{z + e ^{- a t}}

오답 함정 분석

분자에 z가 누락되었으며, 등비급수의 공비 부호를 잘못 적용하여 분모의 부호가 반대로 되었습니다.

\frac{z}{z - e ^{- a t}}

정답 상세 해설

지수 감쇠 함수

f (t) = e^{- a t}

의 Z변환은

\frac{z}{z - e ^{- a t}}

입니다.

•

Step 1: 연속시간 함수를 이산시간 신호로 변환하기 위해 샘플링을 적용하면,

n

번째 샘플값은

(e^{- a t})^{n}

형태로 표현됩니다. (기출문제 관례상 샘플링 주기

T

를

t

로 표기한 것입니다.)

•

Step 2: Z변환의 정의

F (z) = \sum_{n = 0}^{\infty} f (n) z^{- n}

에 대입하면

F (z) = \sum_{n = 0}^{\infty} (e^{- a t})^{n} z^{- n} = \sum_{n = 0}^{\infty} (e^{- a t} z^{- 1})^{n}

이 됩니다.

•

Step 3: 무한 등비급수의 합 공식

\frac{1}{1 - r}

을 적용하면

F (z) = \frac{1}{1 - e ^{- a t} z ^{- 1}}

이 되며, 분모와 분자에

z

를 곱하여 정리하면

\frac{z}{z - e ^{- a t}}

가 도출됩니다.

\frac{z}{z + e ^{- a t}}

오답 함정 분석

등비급수의 공비 부호를 잘못 적용하여 분모의 부호가 반대로 되었습니다.

자주 묻는 질문

Z변환에서 무한 등비급수의 합 공식은 어떻게 적용되나요?

Z변환은

\sum_{n = 0}^{\infty} r^{n}

형태의 무한 등비급수로 표현되며,

∣ r ∣ < 1

일 때

\frac{1}{1 - r}

로 수렴합니다. 이 문제에서는

r = e^{- a t} z^{- 1}

이므로

\frac{1}{1 - e ^{- a t} z ^{- 1}}

이 되고, 분모와 분자에

z

를 곱하여

\frac{z}{z - e ^{- a t}}

로 정리합니다.

문제의

f (t)

에서

t

는 연속시간 변수인데 어떻게 Z변환을 하나요?

제어공학에서 연속시간 함수를 Z변환할 때는 암묵적으로 샘플링 주기

T

를 적용하여 이산화(

t = n T

)한 후 변환합니다. 이 기출문제에서는 샘플링 주기 기호 대신

t

를 상수로 취급하여 선지에 그대로 표현한 관례적인 표기법을 따르고 있습니다.

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