라플라스변환

전기기사 필기 2006년 3회 67번

Q: 복소추이정리가 무엇인가요?

시간 영역의 함수에 지수함수 $e^{at}$를 곱한 것의 라플라스 변환은 원래 함수의 라플라스 변환 결과에서 $s$ 대신 $s-a$를 대입한 것과 같다는 정리입니다.

Q: 분모가 제곱 형태일 때는 항상 $t$가 곱해지나요?

네, 맞습니다. $\mathcal{L}\{t^n\} = \frac{n!}{s^{n+1}}$ 공식에 따라 분모가 $s^2$ 형태이면 시간 영역에서는 $t$가 곱해진 형태가 됩니다.

과목 / 챕터	회로이론 및 제어공학 / 회로이론
인지 유형	calculation
난이도	Level 2

Q문제

함수

F (s) = \frac{3}{( s + 2 ) ^{2}}

을 라플라스 역변환하면

f (t)

는 어떻게 되는가?

유사 문제 링크

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선택지 분석

3 e^{- 2 t}

오답 함정 분석

분모가

(s + 2)^{2}

이 아닌

s + 2

일 때의 역변환 결과입니다.

3 e^{2 t}

오답 함정 분석

분모가

s - 2

일 때의 역변환 결과이며, 제곱항을 고려하지 않았습니다.

3 t e^{2 t}

오답 함정 분석

지수함수의 부호를 반대로 적용하여

s - 2

로 잘못 해석한 결과입니다.

3 t e^{- 2 t}

정답 상세 해설

주어진 함수

F (s) = \frac{3}{( s + 2 ) ^{2}}

의 라플라스 역변환은 복소추이정리와 기본 함수의 라플라스 변환 공식을 이용하여 구합니다.

•

Step 1: 기본 함수의 라플라스 변환 공식을 확인합니다.

f (t) = t

의 라플라스 변환은

L {t} = \frac{1}{s ^{2}}

입니다.

•

Step 2: 복소추이정리(주파수 천이 정리)를 적용합니다.

L {e^{a t} f (t)} = F (s - a)

이므로, 역변환은

L^{- 1} {F (s - a)} = e^{a t} f (t)

가 됩니다.

•

Step 3: 주어진 식을 변형하여 역변환을 계산합니다.

F (s) = 3 \cdot \frac{1}{( s + 2 ) ^{2}}

에서

a = - 2

인 경우에 해당하므로,

L^{- 1} {\frac{1}{( s + 2 ) ^{2}}} = t e^{- 2 t}

입니다.

•

Step 4: 상수를 곱하여 최종 결과를 도출합니다. 따라서

f (t) = 3 t e^{- 2 t}

입니다.

자주 묻는 질문

복소추이정리가 무엇인가요?

시간 영역의 함수에 지수함수

e^{a t}

를 곱한 것의 라플라스 변환은 원래 함수의 라플라스 변환 결과에서

s

대신

s - a

를 대입한 것과 같다는 정리입니다.

분모가 제곱 형태일 때는 항상

t

가 곱해지나요?

네, 맞습니다.

L {t^{n}} = \frac{n !}{s ^{n + 1}}

공식에 따라 분모가

s^{2}

형태이면 시간 영역에서는

t

가 곱해진 형태가 됩니다.

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