정전용량

전기기사 필기 2006년 3회 18번

Q: 동심구 도체의 정전용량 공식은 어떻게 유도되나요?

내구에 $+Q$, 외구에 $-Q$의 전하가 대전되어 있을 때, 두 구 사이의 전위차 $V$는 $\int_{a}^{b} E dr$로 구합니다. 전계 $E = \frac{Q}{4\pi\epsilon_0 r^2}$이므로 적분하면 $V = \frac{Q}{4\pi\epsilon_0}(\frac{1}{a} - \frac{1}{b})$가 되며, $C = \frac{Q}{V}$에 대입하여 도출합니다.

Q: 외구를 접지하지 않은 경우에도 정전용량이 같나요?

외구가 접지되어 있지 않고 독립된 상태라면, 외구 외부로도 전기력선이 퍼져나가므로 외구 자체의 정전용량($4\pi\epsilon_0 b$)이 병렬로 추가되어 총 정전용량이 달라집니다. 본 문제는 일반적인 동심구 콘덴서(외구 접지 또는 구 사이의 정전용량만 고려)를 가정합니다.

과목 / 챕터	전기자기학 / 진공 중의 도체계
인지 유형	calculation
난이도	Level 3

Q문제

그림과 같은 두 개의 동심구 도체가 있다. 구사이가 진공으로 되어 있을 때 동심구간의 정전용량은 몇 [F] 인가?

유사 문제 링크

2015-1-q12 2006-3-q9 2015-3-q11 2020-1-q11 2022-2-q13

선택지 분석

2 π ϵ_{0}

오답 함정 분석

동심구의 정전용량 공식에 대입할 때 분자의 계수나 분모의 계산을 잘못하여 도출된 오답입니다.

4 π ϵ_{0}

오답 함정 분석

반지름이 1m인 단독 구의 정전용량 공식(

4 π ϵ_{0} a

)으로 착각하여 도출된 오답입니다.

8 π ϵ_{0}

정답 상세 해설

동심구 도체의 정전용량은

8 π ϵ_{0}

[F]입니다.

•

Step 1: 동심구 도체의 정전용량 공식을 확인합니다. 내구의 반지름이

a

, 외구의 내반지름이

b

일 때 정전용량

C = \frac{4 π ϵ _{0}}{\frac{1}{a} - \frac{1}{b}} = \frac{4 π ϵ _{0} ab}{b - a}

입니다.

•

Step 2: 주어진 문제의 조건에서 내구 반지름

a = 1

[m], 외구 반지름

b = 2

[m]를 공식에 대입합니다.

•

Step 3:

C = \frac{4 π ϵ _{0} \times 1 \times 2}{2 - 1} = \frac{8 π ϵ _{0}}{1} = 8 π ϵ_{0}

[F]가 됩니다.

12 π ϵ_{0}

오답 함정 분석

반지름 값의 합이나 곱을 잘못 적용하여 계산 과정에서 오류가 발생한 오답입니다.

자주 묻는 질문

동심구 도체의 정전용량 공식은 어떻게 유도되나요?

내구에

+ Q

, 외구에

- Q

의 전하가 대전되어 있을 때, 두 구 사이의 전위차

V

는

\int_{a}^{b} E d r

로 구합니다. 전계

E = \frac{Q}{4 π ϵ _{0} r ^{2}}

이므로 적분하면

V = \frac{Q}{4 π ϵ _{0}} (\frac{1}{a} - \frac{1}{b})

가 되며,

C = \frac{Q}{V}

에 대입하여 도출합니다.

외구를 접지하지 않은 경우에도 정전용량이 같나요?

외구가 접지되어 있지 않고 독립된 상태라면, 외구 외부로도 전기력선이 퍼져나가므로 외구 자체의 정전용량(

4 π ϵ_{0} b

)이 병렬로 추가되어 총 정전용량이 달라집니다. 본 문제는 일반적인 동심구 콘덴서(외구 접지 또는 구 사이의 정전용량만 고려)를 가정합니다.

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