샘플값제어

전기기사 필기 2010년 3회 65번

일반적으로 $X(s)$를 부분분수로 전개한 후, 각 항에 해당하는 z변환 표를 이용하여 변환하는 것이 가장 정확하고 빠릅니다.

$Z[e^{-at}]$의 z변환은 $\frac{z}{z-e^{-aT}}$입니다.

Q문제

Laplace 변환된 함수

X (s) = 1/ (s (s + 1))

에 대한 z변환은?

유사 문제 링크

선택지 분석

\frac{z ( 1 - e ^{- T} )}{( z - 1 ) ( z - e ^{- T} )}

주어진 함수를 부분분수로 전개한 후 역 라플라스 변환을 거쳐 z변환을 수행하여 도출한 올바른 결과입니다.

•

Step 1: 주어진

X (s)

를 부분분수로 전개합니다.

X (s) = \frac{1}{s ( s + 1 )} = \frac{1}{s} - \frac{1}{s + 1}

•

Step 2: 부분분수로 전개된 각 항에 대해 역 라플라스 변환을 수행하여 시간 함수

x (t)

를 구합니다.

x (t) = 1 - e^{- t}

•

Step 3: 시간 함수

x (t)

를 샘플링하여

x (k T)

로 나타낸 후, 각각의 항에 대해 z변환을 수행합니다.

Z [1] = \frac{z}{z - 1}

Z [e^{- k T}] = \frac{z}{z - e ^{- T}}

X (z) = \frac{z}{z - 1} - \frac{z}{z - e ^{- T}}

•

Step 4: 두 항을 통분하여 정리합니다.

X (z) = \frac{z ( z - e ^{- T} ) - z ( z - 1 )}{( z - 1 ) ( z - e ^{- T} )} = \frac{z ( 1 - e ^{- T} )}{( z - 1 ) ( z - e ^{- T} )}

\frac{z ( 1 - e ^{- T} )}{( z + 1 ) ( z + e ^{- T} )}

분모의 부호가 잘못되었습니다. 올바른 분모는

(z - 1) (z - e^{- T})

입니다.

\frac{z ( 1 - e ^{- T} )}{( z + 1 ) ( z - e ^{- T} )}

분모의

z - 1

항이

z + 1

로 잘못 표기되었습니다.

\frac{z ( 1 + e ^{- T} )}{( z + 1 ) ( z - e ^{- T} )}

분자의 부호와 분모의

z - 1

항 부호가 모두 잘못 표기되었습니다.

X (s)

를 바로 z변환하는 공식이 있나요?

일반적으로

X (s)

를 부분분수로 전개한 후, 각 항에 해당하는 z변환 표를 이용하여 변환하는 것이 가장 정확하고 빠릅니다.

Z [e^{- a t}]

의 z변환은 어떻게 되나요?

Z [e^{- a t}]

의 z변환은

\frac{z}{z - e ^{- a T}}

입니다.