라플라스변환

전기기사 필기 2005년 3회 76번

분모가 중근을 가질 경우, 분자를 분모의 형태에 맞추어 변형합니다. 주어진 식에서는 분자 $s$를 $(s+1)-1$로 변형하여 $\frac{1}{s+1} - \frac{1}{(s+1)^2}$ 형태로 분리합니다.

$\frac{1}{s^2}$의 역변환인 $t$에 복소추이 정리(s-shifting)를 적용하여 $t e^{-t}$가 됩니다.

Q문제

L^{- 1} [\frac{s}{( s + 1 ) ^{2}}]

는?

유사 문제 링크

선택지 분석

e^{- t} - t e^{- t}

주어진 라플라스 변환식을 부분분수로 전개하여 역변환이 가능한 기본 형태로 변환하여 도출한 올바른 결과입니다.

•

Step 1: 분자

s

를 분모의 형태에 맞추어

(s + 1) - 1

로 변형합니다. 즉,

F (s) = \frac{s}{( s + 1 ) ^{2}} = \frac{s + 1 - 1}{( s + 1 ) ^{2}}

입니다.

•

Step 2: 식을 두 개의 항으로 분리합니다.

F (s) = \frac{s + 1}{( s + 1 ) ^{2}} - \frac{1}{( s + 1 ) ^{2}} = \frac{1}{s + 1} - \frac{1}{( s + 1 ) ^{2}}

입니다.

•

Step 3: 각 항에 대해 라플라스 역변환을 적용합니다.

L^{- 1} [\frac{1}{s + 1}] = e^{- t}

이고,

L^{- 1} [\frac{1}{( s + 1 ) ^{2}}] = t e^{- t}

입니다.

•

따라서 최종 역변환 결과는

e^{- t} - t e^{- t}

입니다.

e^{- t} - 2 t e^{- t}

부분분수 전개 과정에서 분자의 상수를 잘못 계산하여 두 번째 항의 계수가 2가 된 오답입니다.

e^{t} - t e^{- t}

첫 번째 항의 라플라스 역변환 시 지수의 부호를 잘못 적용하여

e^{t}

로 도출한 오답입니다.

e^{- t} + t e^{- t}

부분분수 전개 과정에서 두 항 사이의 부호를 뺄셈이 아닌 덧셈으로 잘못 적용한 오답입니다.

라플라스 역변환을 위해 부분분수 전개를 어떻게 하나요?

분모가 중근을 가질 경우, 분자를 분모의 형태에 맞추어 변형합니다. 주어진 식에서는 분자

s

를

(s + 1) - 1

로 변형하여

\frac{1}{s + 1} - \frac{1}{( s + 1 ) ^{2}}

형태로 분리합니다.

\frac{1}{( s + 1 ) ^{2}}

의 라플라스 역변환은 어떻게 구하나요?

\frac{1}{s ^{2}}

의 역변환인

t

에 복소추이 정리(s-shifting)를 적용하여

t e^{- t}

가 됩니다.