$e^{-at} \cos \omega t$의 라플라스 변환은?

$\frac{s+a}{(s+a)^2 + \omega^2}$

$\frac{(s-a)^2 - \omega^2}{[(s+a)^2 + \omega^2]^2}$

$\frac{(s+a)^2 - \omega^2}{[(s+a)^2 + \omega^2]^2}$

$\frac{s+a}{(s+a)^2 + \omega^2}$

$\frac{s-a}{(s+a)^2 + \omega^2}$

$\sin \omega t$에 $e^{-at}$가 곱해진 경우의 라플라스 변환은 어떻게 되나요?

$\mathcal{L}[\sin \omega t] = \frac{\omega}{s^2 + \omega^2}$이므로, 복소추이 정리를 적용하면 $\frac{\omega}{(s+a)^2 + \omega^2}$가 됩니다.

문제 탐색

라플라스변환

전기기사 필기 2005년 3회 66번

Q: 복소추이 정리(제1이동 정리)란 무엇인가요?

시간 영역에서 함수에 지수함수 $e^{-at}$가 곱해지면, 라플라스 변환된 $s$ 영역에서는 $s$ 대신 $s+a$로 평행 이동하는 정리입니다.

과목 / 챕터	회로이론 및 제어공학 / 회로이론
인지 유형	calculation
난이도	Level 2

Q문제

e^{- a t} cos ω t

의 라플라스 변환은?

유사 문제 링크

2020-2-q73 2019-2-q75 2014-1-q76 2018-1-q79 2019-2-q80

선택지 분석

\frac{( s - a ) ^{2} - ω ^{2}}{[( s + a ) ^{2} + ω ^{2} ] ^{2}}

오답 함정 분석

분자에 s-a가 포함되어 있고 분모가 제곱된 형태이므로 잘못된 변환 결과입니다.

\frac{( s + a ) ^{2} - ω ^{2}}{[( s + a ) ^{2} + ω ^{2} ] ^{2}}

오답 함정 분석

이 식은

t e^{- a t} cos ω t

를 라플라스 변환했을 때 나오는 결과입니다.

\frac{s + a}{( s + a ) ^{2} + ω ^{2}}

정답 상세 해설

주어진 함수

e^{- a t} cos ω t

의 라플라스 변환은 복소추이 정리(제1이동 정리)를 이용하여 구합니다.

•

Step 1: 기본 함수

cos ω t

의 라플라스 변환을 구합니다.

L [cos ω t] = \frac{s}{s ^{2} + ω ^{2}}

입니다.

•

Step 2: 복소추이 정리에 따라

e^{- a t} f (t)

의 라플라스 변환은

F (s + a)

가 됩니다.

•

Step 3: 따라서

\frac{s}{s ^{2} + ω ^{2}}

의

s

대신

s + a

를 대입하면

\frac{s + a}{( s + a ) ^{2} + ω ^{2}}

가 됩니다.

\frac{s - a}{( s + a ) ^{2} + ω ^{2}}

오답 함정 분석

분자가

s - a

이므로 이는

e^{a t} cos ω t

를 변환한 결과와 혼동한 오답입니다.

자주 묻는 질문

복소추이 정리(제1이동 정리)란 무엇인가요?

시간 영역에서 함수에 지수함수

e^{- a t}

가 곱해지면, 라플라스 변환된

s

영역에서는

s

대신

s + a

로 평행 이동하는 정리입니다.

sin ω t

에

e^{- a t}

가 곱해진 경우의 라플라스 변환은 어떻게 되나요?

L [sin ω t] = \frac{ω}{s ^{2} + ω ^{2}}

이므로, 복소추이 정리를 적용하면

\frac{ω}{( s + a ) ^{2} + ω ^{2}}

가 됩니다.

이 문제 바로 풀기