안정도판별법

전기기사 필기 2005년 1회 80번

Q문제

다음 임펄스 응답 중 안정한 계는?

유사 문제 링크

선택지 분석

c(t)=1

임펄스 응답이 상수로 유지되어 0으로 수렴하지 않으므로 점근적 안정 조건을 만족하지 못합니다.

c (t) = cos ω t

코사인 함수는 일정한 진폭으로 영원히 진동하며 0으로 수렴하지 않으므로 임계 안정 상태에 해당합니다.

c (t) = e^{- t} sin ω t

임펄스 응답 c(t)가 시간이 무한대로 경과함에 따라 0으로 수렴하는 계가 안정합니다.

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Step 1: 제어계의 안정도 판별 기준을 확인합니다. 선형 시스템에서 임펄스 응답 c(t)에 대해 lim(t→∞) c(t) = 0을 만족하면 해당 계는 점근적으로 안정하다고 정의합니다.

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Step 2: 제시된 함수의 수렴성을 분석합니다. c(t) = e^{-t} sin ωt 식에서 지수항 e^{-t}는 t가 증가함에 따라 0으로 수렴하는 감쇠 특성을 가집니다.

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Step 3: 최종 안정도를 판별합니다. sin ωt 항이 -1과 1 사이에서 진동하더라도, 곱해진 감쇠 계수 e^{-t}에 의해 전체 응답값은 결국 0으로 수렴하게 되므로 이 계는 안정합니다.

c(t)=2t

시간 t가 증가함에 따라 응답의 크기가 무한히 발산하므로 전형적인 불안정 계의 특성을 보입니다.

임펄스 응답이 0으로 수렴하지 않으면 무조건 불안정한가요?

0으로 수렴하지 않고 일정한 값을 유지하거나 진동하는 경우는 임계 안정(Marginally Stable)으로 분류하며, 무한히 커지는 경우만 불안정하다고 합니다.

지수 함수의 계수가 안정도에 어떤 영향을 미치나요?

지수항 e^{at}에서 t의 계수 a가 음수여야만 시간이 지남에 따라 응답이 0으로 수렴하여 시스템이 안정해집니다.