라플라스변환

전기기사 필기 2003년 2회 61번

Q문제

시간 구간

a

, 진폭이

1/ a

인 단위 펄스에서

a \to 0

에 접근할 때의 단위 충격 함수에 대한 Laplace 변환은?

유사 문제 링크

선택지 분석

a

단위 충격 함수의 라플라스 변환은 1입니다. a는 펄스의 폭을 나타내는 변수입니다.

1

단위 충격 함수(디랙 델타 함수)의 라플라스 변환은 1입니다.

•

Step 1: 주어진 함수

f (t)

는 시간 구간이

0

에서

a

까지이고 진폭이

1/ a

인 펄스 함수입니다. 이를 단위 계단 함수

u (t)

를 이용하여 나타내면

f (t) = \frac{1}{a} [u (t) - u (t - a)]

입니다.

•

Step 2: 이 함수

f (t)

의 라플라스 변환

F (s)

를 구합니다.

F (s) = L {f (t)} = \frac{1}{a} [\frac{1}{s} - \frac{e ^{- a s}}{s}] = \frac{1 - e ^{- a s}}{a s}

입니다.

•

Step 3: 단위 충격 함수

δ (t)

는

a \to 0

일 때의 극한으로 정의됩니다. 따라서

L {δ (t)} = lim_{a \to 0} F (s) = lim_{a \to 0} \frac{1 - e ^{- a s}}{a s}

입니다.

•

Step 4: 극한을 계산하면

0/0

꼴이 되므로 로피탈의 정리를 적용하여 분자와 분모를

a

에 대해 미분합니다.

lim_{a \to 0} \frac{\frac{d}{d a} ( 1 - e ^{- a s} )}{\frac{d}{d a} ( a s )} = lim_{a \to 0} \frac{s e ^{- a s}}{s} = lim_{a \to 0} e^{- a s} = 1

입니다.

0

단위 충격 함수의 라플라스 변환은 0이 아니라 1입니다. 0은 영함수의 라플라스 변환입니다.

1/ a

1/a는 펄스의 진폭이며, 극한을 취하기 전의 상태를 나타내는 값으로 단위 충격 함수의 라플라스 변환값이 아닙니다.

단위 충격 함수란 무엇인가요?

단위 충격 함수(디랙 델타 함수)는 폭이 0이고 높이가 무한대이며, 전체 면적이 1인 이상적인 펄스 함수입니다.

극한 계산에서 로피탈의 정리는 언제 사용하나요?

극한을 계산할 때 0/0 또는 무한대/무한대 꼴의 부정형이 나오는 경우, 분자와 분모를 각각 미분하여 극한을 구하는 방법입니다. 이 문제에서도 극한을 구할 때 0/0 꼴이 되어 로피탈의 정리를 적용합니다.