라플라스변환

전기기사 필기 2003년 1회 74번

$\frac{1}{s^2}$의 역변환인 $t$에 복소추이 정리(s-shifting theorem)를 적용하여 $s$ 대신 $s+a$가 대입된 형태이므로 $te^{-at}$가 됩니다.

Q문제

L^{- 1} [\frac{s}{( s + 1 ) ^{2}}]

는?

유사 문제 링크

선택지 분석

e^{- t} - t e^{- t}

주어진 라플라스 변환 함수를 부분분수로 전개하여 역변환을 수행하여 정답을 도출합니다.

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Step 1: 주어진 함수

F (s) = \frac{s}{( s + 1 ) ^{2}}

의 분자를 분모의 형태에 맞게

s = (s + 1) - 1

로 변형합니다.

•

Step 2: 식을 분리하면

F (s) = \frac{s + 1 - 1}{( s + 1 ) ^{2}} = \frac{s + 1}{( s + 1 ) ^{2}} - \frac{1}{( s + 1 ) ^{2}} = \frac{1}{s + 1} - \frac{1}{( s + 1 ) ^{2}}

이 됩니다.

•

Step 3: 라플라스 역변환 공식

L^{- 1} [\frac{1}{s + a}] = e^{- a t}

와

L^{- 1} [\frac{1}{( s + a ) ^{2}}] = t e^{- a t}

를 적용합니다.

•

Step 4: 따라서

L^{- 1} [F (s)] = e^{- t} - t e^{- t}

가 됩니다.

e^{- t} + 2 t e^{- t}

부분분수 전개 과정에서 분자의 상수를 잘못 계산하여 부호와 계수를 틀리게 적용한 오답입니다.

e^{t} - t e^{- t}

라플라스 역변환 공식에서 지수함수의 부호를 반대로 적용한 오답입니다.

e^{- t} + t e^{- t}

부분분수 전개 후 두 번째 항의 부호를 양수로 잘못 적용한 오답입니다.

라플라스 역변환을 할 때 분수 형태의 식은 어떻게 처리하나요?

분모가 다항식의 제곱 형태인 경우, 분자를 분모의 인수로 묶어 부분분수로 분리한 뒤 기본 라플라스 역변환 공식을 적용합니다.

\frac{1}{( s + a ) ^{2}}

의 라플라스 역변환은 어떻게 유도되나요?

\frac{1}{s ^{2}}

의 역변환인

t

에 복소추이 정리(s-shifting theorem)를 적용하여

s

대신

s + a

가 대입된 형태이므로

t e^{- a t}

가 됩니다.