전기쌍극자

전기기사 필기 2003년 1회 11번

Q문제

반지름

a [m]

의 원판형 전기 2중층의 중심축상

x [m]

의 거리에 있는 점 P(+전하측)의 전위는 몇

V

인가? (단, 2중층의 세기는

M [C / m]

이다.)

유사 문제 링크

선택지 분석

\frac{M}{ϵ _{0}} (1 - \frac{x}{x ^{2} + a ^{2}})

입체각 계산 시 수식의 4π와 2π의 약분을 누락하여 분모의 2가 빠진 오답입니다.

\frac{M}{2 ϵ _{0}} (1 - \frac{x}{x ^{2} + a ^{2}})

전기 이중층에 의한 임의의 점에서의 전위는 입체각을 이용하여 도출할 수 있습니다.

•

Step 1: 전기 이중층에 의한 전위 공식은

V = \frac{M}{4 π ϵ _{0}} ω

입니다. (단,

ω

는 입체각)

•

Step 2: 원판형 전기 이중층의 중심축 상 거리

x

인 점 P에서 바라본 입체각

ω

를 구합니다. 원뿔 형태의 입체각 공식은

ω = 2 π (1 - cos θ)

입니다.

•

Step 3: 직각삼각형의 기하학적 관계에서 밑변이

x

, 높이가

a

이므로 빗변은

x^{2} + a^{2}

가 됩니다. 따라서

cos θ = \frac{x}{x ^{2} + a ^{2}}

입니다.

•

Step 4: 구한

cos θ

를 입체각 공식에 대입하면

ω = 2 π (1 - \frac{x}{x ^{2} + a ^{2}})

가 됩니다.

•

Step 5: 최종적으로 전위 공식에 입체각을 대입하면

V = \frac{M}{4 π ϵ _{0}} \times 2 π (1 - \frac{x}{x ^{2} + a ^{2}}) = \frac{M}{2 ϵ _{0}} (1 - \frac{x}{x ^{2} + a ^{2}})

가 도출됩니다.

\frac{M}{ϵ _{0}} (1 - \frac{a}{x ^{2} + a ^{2}})

약분 오류와 함께 입체각 계산 시 cosθ 대신 sinθ 값을 적용한 오답입니다.

\frac{M}{2 ϵ _{0}} (1 - \frac{a}{x ^{2} + a ^{2}})

입체각 계산 시 cosθ 대신 sinθ 값인 a/√(x²+a²)를 적용한 오답입니다.

전기 이중층이란 무엇인가요?

크기가 같고 부호가 반대인 전하가 매우 짧은 미소 거리를 두고 평행하게 분포되어 있는 층을 의미합니다.

입체각(Solid Angle)은 어떻게 계산되나요?

구의 중심에서 바라본 면적을 구의 반지름의 제곱으로 나눈 값입니다. 원뿔 형태의 경우 반각이 θ일 때 ω = 2π(1 - cosθ) 로 계산됩니다.