구좌표계 라플라시안 공식에서 $\theta$와 $\phi$ 성분은 왜 무시하나요?

주어진 함수가 $r$만의 함수이므로 $\theta$와 $\phi$에 대한 편미분 항은 모두 0이 되기 때문입니다.

전위

전기기사 필기 2022년 2회 20번

Q: 직교좌표계로 변환하여 계산해도 동일한 결과가 나오나요?

네, 동일합니다. $r = \sqrt{x^2+y^2+z^2}$에 대해 $\nabla^2 r = \frac{\partial^2 r}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 r}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 r}{\partial z^2}$를 계산하면 $\frac{r^2-x^2}{r^3} + \frac{r^2-y^2}{r^3} + \frac{r^2-z^2}{r^3} = \frac{3r^2-r^2}{r^3} = \frac{2}{r}$가 도출됩니다.

과목 / 챕터	전기자기학 / 진공 중의 정전계
인지 유형	calculation
난이도	Level 4

Q문제

구좌표계에서

\nabla^{2} r

의 값은 얼마인가? (단,

r = x^{2} + y^{2} + z^{2}

)

유사 문제 링크

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선택지 분석

1/ r

오답 함정 분석

라플라시안 연산 과정에서 미분 계수를 누락하거나 잘못 계산한 오답입니다.

2/ r

정답 상세 해설

구좌표계의 라플라시안 연산자를 스칼라 함수

r

에 적용하면

2/ r

이 도출됩니다.

•

Step 1. 구좌표계에서

r

만의 함수인 경우 라플라시안

\nabla^{2} V

는

\frac{1}{r ^{2}} \frac{\partial}{\partial r} (r^{2} \frac{\partial V}{\partial r})

입니다.

•

Step 2. 주어진 함수

V = r

을 대입하여

\frac{\partial V}{\partial r}

를 구하면

\frac{\partial r}{\partial r} = 1

입니다.

•

Step 3. 식에 대입하여 계산하면

\nabla^{2} r = \frac{1}{r ^{2}} \frac{\partial}{\partial r} (r^{2} \cdot 1) = \frac{1}{r ^{2}} (2 r) = \frac{2}{r}

가 됩니다.

r

오답 함정 분석

라플라시안 연산자를 적용하지 않고 변수 형태를 그대로 유지한 오답입니다.

2 r

오답 함정 분석

라플라시안 공식의 앞부분인

\frac{1}{r ^{2}}

곱셈을 누락한 오답입니다.

자주 묻는 질문

직교좌표계로 변환하여 계산해도 동일한 결과가 나오나요?

네, 동일합니다.

r = x^{2} + y^{2} + z^{2}

에 대해

\nabla^{2} r = \frac{\partial ^{2} r}{\partial x ^{2}} + \frac{\partial ^{2} r}{\partial y ^{2}} + \frac{\partial ^{2} r}{\partial z ^{2}}

를 계산하면

\frac{r ^{2} - x ^{2}}{r ^{3}} + \frac{r ^{2} - y ^{2}}{r ^{3}} + \frac{r ^{2} - z ^{2}}{r ^{3}} = \frac{3 r ^{2} - r ^{2}}{r ^{3}} = \frac{2}{r}

가 도출됩니다.

구좌표계 라플라시안 공식에서

θ

와

ϕ

성분은 왜 무시하나요?

주어진 함수가

r

만의 함수이므로

θ

와

ϕ

에 대한 편미분 항은 모두 0이 되기 때문입니다.

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