전위

전기기사 필기 2006년 3회 15번

Q: 라플라스 방정식이란 무엇인가요?

전하가 없는 진공 공간에서 전위 $V$가 만족하는 미분 방정식으로, $\nabla^2 V = 0$으로 표현됩니다.

Q: 직각좌표계에서 라플라스 연산자($\nabla^2$)는 어떻게 계산하나요?

전위 함수를 $x, y, z$ 각각에 대해 두 번 편미분한 결과를 모두 더하여 계산합니다.

과목 / 챕터	전기자기학 / 진공 중의 정전계
인지 유형	calculation
난이도	Level 3

Q문제

다음의 전위함수에서 라플라스 방정식을 만족하지 않은 것은?

유사 문제 링크

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선택지 분석

V = r cos θ + Φ

오답 함정 분석

구좌표계에서

r cos θ

는 직각좌표계의

z

에 해당하며,

Φ

는 방위각으로 각각 라플라스 방정식을 만족하여 전체 결과가 0이 됩니다.

V = x^{2} - y^{2} + z^{2}

정답 상세 해설

주어진 전위함수 중

V = x^{2} - y^{2} + z^{2}

는 라플라스 방정식(

\nabla^{2} V = 0

)을 만족하지 않습니다.

•

Step 1: 직각좌표계에서 라플라스 방정식은

\nabla^{2} V = \frac{\partial ^{2} V}{\partial x ^{2}} + \frac{\partial ^{2} V}{\partial y ^{2}} + \frac{\partial ^{2} V}{\partial z ^{2}} = 0

을 의미합니다.

•

Step 2:

V = x^{2} - y^{2} + z^{2}

를 각 변수에 대해 두 번 편미분합니다.

\frac{\partial ^{2} V}{\partial x ^{2}} = 2

\frac{\partial ^{2} V}{\partial y ^{2}} = - 2

\frac{\partial ^{2} V}{\partial z ^{2}} = 2

입니다.

•

Step 3: 편미분 결과를 모두 더하여 라플라스 연산자 결과를 확인합니다.

\nabla^{2} V = 2 + (- 2) + 2 = 2 \neq = 0

입니다.

•

Step 4: 계산 결과가 0이 아니므로 라플라스 방정식을 만족하지 않습니다.

V = h o cos Φ + Z

오답 함정 분석

원통좌표계에서

ρ cos Φ

는 직각좌표계의

x

에 해당하므로

V = x + z

가 되어 라플라스 방정식을 만족합니다.

V = \frac{V _{0}}{d} x

오답 함정 분석

x

에 대한 1차 함수이므로 두 번 미분하면 0이 되어 라플라스 방정식을 만족합니다.

자주 묻는 질문

라플라스 방정식이란 무엇인가요?

전하가 없는 진공 공간에서 전위

V

가 만족하는 미분 방정식으로,

\nabla^{2} V = 0

으로 표현됩니다.

직각좌표계에서 라플라스 연산자(

\nabla^{2}

)는 어떻게 계산하나요?

전위 함수를

x, y, z

각각에 대해 두 번 편미분한 결과를 모두 더하여 계산합니다.

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