가우스의 정리

전기기사 필기 2014년 1회 11번

Q: 벡터의 발산(Divergence)은 어떻게 계산하나요?

직각 좌표계에서 벡터 $A = A_x a_x + A_y a_y + A_z a_z$의 발산은 $\nabla \cdot A = \frac{\partial A_x}{\partial x} + \frac{\partial A_y}{\partial y} + \frac{\partial A_z}{\partial z}$로 계산합니다.

과목 / 챕터	전기자기학 / 진공 중의 정전계
인지 유형	calculation
난이도	Level 4

Q문제

전속밀도가

D = e^{- 2 y} (a_{x} sin 2 x + a_{y} cos 2 x) [C / m^{2}]

일 때 전속의 단위 체적당 발산량

[C / m^{3}]

은?

유사 문제 링크

2013-3-q15 2022-1-q2 2005-1-q10 2007-1-q14 2008-1-q6

선택지 분석

2 e^{- 2 y} cos 2 x

오답 함정 분석

x방향 성분의 편미분 결과만 계산한 오답입니다.

4 e^{- 2 y} cos 2 x

오답 함정 분석

y방향 성분의 편미분 시 부호를 잘못 적용하여 두 항을 더한 오답입니다.

0

정답 상세 해설

전속의 단위 체적당 발산량은 전속밀도 벡터의 발산(Divergence)을 의미하며,

\nabla \cdot D

로 계산합니다.

•

Step 1: 주어진 전속밀도

D = e^{- 2 y} (sin 2 x a_{x} + cos 2 x a_{y})

의 각 성분을 확인합니다.

D_{x} = e^{- 2 y} sin 2 x

D_{y} = e^{- 2 y} cos 2 x

D_{z} = 0

입니다.

•

Step 2: 각 성분을 해당 변수로 편미분합니다.

\frac{\partial D _{x}}{\partial x} = 2 e^{- 2 y} cos 2 x

\frac{\partial D _{y}}{\partial y} = - 2 e^{- 2 y} cos 2 x

입니다.

•

Step 3: 편미분한 결과를 모두 더하여 발산량을 구합니다.

\nabla \cdot D = 2 e^{- 2 y} cos 2 x + (- 2 e^{- 2 y} cos 2 x) = 0

입니다.

2 e^{- 2 y} (sin 2 x + cos 2 x)

오답 함정 분석

편미분 공식을 잘못 적용하여 도출된 오답입니다.

자주 묻는 질문

전속의 단위 체적당 발산량은 물리적으로 어떤 의미인가요?

전속의 단위 체적당 발산량은 가우스의 정리에 의해 해당 체적 내에 존재하는 단위 체적당 전하량(체적 전하 밀도)을 의미합니다.

벡터의 발산(Divergence)은 어떻게 계산하나요?

직각 좌표계에서 벡터

A = A_{x} a_{x} + A_{y} a_{y} + A_{z} a_{z}

의 발산은

\nabla \cdot A = \frac{\partial A _{x}}{\partial x} + \frac{\partial A _{y}}{\partial y} + \frac{\partial A _{z}}{\partial z}

로 계산합니다.

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