근궤적과 자동제어의 보상

전기기사 필기 2022년 2회 64번

Q문제

다음의 개루프 전달함수에 대한 근궤적이 실수축에서 이탈하게 되는 분리점은 약 얼마인가?

G (s) H (s) = \frac{K}{s ( s + 3 ) ( s + 8 )}, K \geq 0

유사 문제 링크

선택지 분석

-0.93

계산 과정에서 계수를 잘못 적용하여 도출된 오답입니다.

-5.74

미분 방정식을 잘못 세우거나 근의 공식을 잘못 적용한 오답입니다.

-6.0

미분값이 0이 되는 해 중 하나이지만, 해당 위치는 실수축 상의 근궤적이 존재하지 않는 구간이므로 유효한 분리점이 아닙니다.

-1.33

주어진 개루프 전달함수의 특성방정식에서 K에 대해 미분한 값이 0이 되는 s값 중 유효한 근궤적 구간에 존재하는 값은 -1.33입니다.

•

Step 1. 특성방정식을 구합니다.

1 + G (s) H (s) = 1 + \frac{K}{s ( s + 3 ) ( s + 8 )} = 0

이므로

K = - s (s + 3) (s + 8) = - (s^{3} + 11 s^{2} + 24 s)

입니다.

•

Step 2. 분리점을 구하기 위해 K를 s에 대해 미분하여 0이 되는 조건을 찾습니다.

\frac{d K}{d s} = - (3 s^{2} + 22 s + 24) = 0

입니다.

•

Step 3. 이차방정식

3 s^{2} + 22 s + 24 = 0

의 근을 구하면

s = \frac{- 22 \pm 2 2 ^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 24}{2 \cdot 3} = \frac{- 22 \pm 14}{6}

이므로

s = - 1.33

또는

s = - 6

입니다.

•

Step 4. 실수축 상의 근궤적은 극점

0, - 3, - 8

을 기준으로 우측에 있는 극점과 영점의 총합이 홀수 개인 구간에 존재합니다. 즉,

0

과

- 3

사이, 그리고

- 8

이하의 구간에 존재합니다. 따라서 유효한 분리점은

0

과

- 3

사이에 있는

- 1.33

입니다.

분리점은 항상 dK/ds = 0을 만족하는 모든 해가 되나요?

아닙니다. dK/ds = 0을 만족하는 해 중에서 실제 실수축 상의 근궤적이 존재하는 구간에 위치한 값만 유효한 분리점입니다.

실수축 상의 근궤적이 존재하는 구간은 어떻게 찾나요?

실수축 상의 임의의 점을 기준으로 우측에 있는 개루프 극점과 영점의 총 개수가 홀수 개인 구간에 근궤적이 존재합니다.