선전하밀도가 $\lambda[C/m]$로 균일한 무한 직선도선의 전하로부터 거리가 $r [m]$인 점의 전계의 세기($E$)는 몇 $[V/m]$ 인가?

$E = \frac{1}{2\pi\epsilon_0} \frac{\lambda}{r}$

$E = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{\lambda}{r^2}$

$E = \frac{1}{2\pi\epsilon_0} \frac{\lambda}{r^2}$

$E = \frac{1}{2\pi\epsilon_0} \frac{\lambda}{r}$

$E = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{\lambda}{r}$

가우스의 정리

전기기사 필기 2013년 3회 15번

과목 / 챕터	전기자기학 / 진공 중의 정전계
인지 유형	calculation
난이도	Level 2

Q문제

선전하밀도가

λ [C / m]

로 균일한 무한 직선도선의 전하로부터 거리가

r [m]

인 점의 전계의 세기(

E

)는 몇

[V / m]

인가?

유사 문제 링크

2022-1-q2 2005-1-q10 2007-1-q14 2008-1-q6 2021-1-q1

선택지 분석

E = \frac{1}{4 π ϵ _{0}} \frac{λ}{r ^{2}}

오답 함정 분석

점전하에 의한 전계의 세기 공식과 혼동하여 거리의 제곱에 반비례한다고 잘못 표현한 오답입니다.

E = \frac{1}{2 π ϵ _{0}} \frac{λ}{r ^{2}}

오답 함정 분석

무한 직선 도선의 전계는 거리에 반비례하지만, 거리의 제곱에 반비례한다고 잘못 표현한 오답입니다.

E = \frac{1}{2 π ϵ _{0}} \frac{λ}{r}

정답 상세 해설

무한 직선 도선에 의한 전계의 세기는 가우스의 정리를 이용하여 도출합니다.

•

Step 1: 도선을 축으로 하는 반지름

r

, 길이

L

인 가상의 원통형 가우스 폐곡면을 설정합니다.

•

Step 2: 가우스 폐곡면 내에 포함된 총 전하량

Q

는 선전하밀도

λ

와 길이

L

의 곱인

Q = λ L

입니다.

•

Step 3: 원통의 옆면을 수직으로 통과하는 전속은

E \times 2 π r L

이며, 가우스의 정리에 의해 이는

\frac{Q}{ϵ _{0}}

와 같습니다.

•

Step 4: 수식을 정리하면

E \times 2 π r L = \frac{λ L}{ϵ _{0}}

이므로, 전계의 세기

E = \frac{1}{2 π ϵ _{0}} \frac{λ}{r} [V / m]

가 됩니다.

E = \frac{1}{4 π ϵ _{0}} \frac{λ}{r}

오답 함정 분석

분모의 상수가

2 π

가 아닌

4 π

로 잘못 표기된 오답입니다.

자주 묻는 질문

무한 직선 도선이 아닌 유한한 길이의 도선일 경우에도 같은 공식을 사용하나요?

아닙니다. 유한한 길이의 도선일 경우 양 끝단에서의 전계 분포가 달라지므로 쿨롱의 법칙을 적분하여 구해야 하며, 해당 공식은 무한히 긴 도선에만 적용됩니다.

가우스 폐곡면을 원통형으로 잡는 이유는 무엇인가요?

무한 직선 도선은 원통 대칭성을 가지므로, 원통형 폐곡면을 설정하면 전계의 세기가 표면에서 일정해져 적분 계산이 매우 단순해지기 때문입니다.

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