전계의 에너지

전기기사 필기 2022년 1회 11번

Q: 전위함수가 주어졌을 때 전계의 세기는 어떻게 구하나요?

전계의 세기는 전위함수의 기울기(gradient)에 음의 부호를 취하여 구합니다. 즉, $\mathbf{E} = -\nabla V$ 공식을 사용하여 각 좌표축에 대해 편미분합니다.

Q: 진공 중에서 정전에너지 밀도를 구하는 공식은 무엇인가요?

진공 중의 정전에너지 밀도 $w$는 $w = \frac{1}{2}\epsilon_0 E^2$으로 계산합니다. 여기서 $\epsilon_0$는 진공의 유전율, $E$는 전계의 세기입니다.

과목 / 챕터	전기자기학 / 유전체
인지 유형	calculation
난이도	Level 4

Q문제

진공 내 전위함수가

V = x^{2} + y^{2} (V)

로 주어졌을 때,

0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 1, 0 \leq z \leq 1

인 공간에 저장되는 정전에너지(

J

)는?

유사 문제 링크

2010-1-q9 2020-3-q10 2021-2-q17 2006-1-q14 2010-3-q16

선택지 분석

\frac{4}{3} ϵ_{0}

정답 상세 해설

주어진 전위함수로부터 전계의 세기를 구하고, 정전에너지 밀도를 적분하여 전체 정전에너지를 도출합니다.

•

Step 1: 전계의 세기

E

구하기. 전계는 전위의 기울기(gradient)에 음의 부호를 취한 값입니다.

E = - \nabla V = - (\frac{\partial}{\partial x} i + \frac{\partial}{\partial y} j + \frac{\partial}{\partial z} k) (x^{2} + y^{2}) = - 2 x i - 2 y j

입니다.

•

Step 2: 정전에너지 밀도

w

구하기. 전계의 크기 제곱은

E^{2} = (- 2 x)^{2} + (- 2 y)^{2} = 4 x^{2} + 4 y^{2}

입니다. 진공 중의 정전에너지 밀도 공식

w = \frac{1}{2} ϵ_{0} E^{2}

에 대입하면,

w = \frac{1}{2} ϵ_{0} (4 x^{2} + 4 y^{2}) = 2 ϵ_{0} (x^{2} + y^{2})

가 됩니다.

•

Step 3: 공간에 저장되는 전체 정전에너지

W

구하기. 주어진 체적

0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 1, 0 \leq z \leq 1

에 대해 에너지 밀도를 체적 적분합니다.

W = \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} 2 ϵ_{0} (x^{2} + y^{2}) d x d y d z

입니다.

z

에 대한 적분 구간 길이가 1이므로,

W = 2 ϵ_{0} \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} (x^{2} + y^{2}) d x d y

입니다. 먼저

x

에 대해 적분하면

\int_{0}^{1} (x^{2} + y^{2}) d x = [\frac{1}{3} x^{3} + x y^{2}]_{0}^{1} = \frac{1}{3} + y^{2}

입니다. 다음으로

y

에 대해 적분하면

\int_{0}^{1} (\frac{1}{3} + y^{2}) d y = [\frac{1}{3} y + \frac{1}{3} y^{3}]_{0}^{1} = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3}

입니다. 따라서 전체 정전에너지는

W = 2 ϵ_{0} \times \frac{2}{3} = \frac{4}{3} ϵ_{0}

입니다.

\frac{2}{3} ϵ_{0}

오답 함정 분석

적분 과정에서 계수 2를 누락하여 잘못 계산한 오답입니다.

4 ϵ_{0}

오답 함정 분석

정전에너지 밀도 공식에서 1/2을 곱하지 않고 적분하여 도출된 오답입니다.

2 ϵ_{0}

오답 함정 분석

전계의 크기 제곱을 적분하는 과정에서 변수 적분을 생략하고 단순히 최댓값을 대입하여 계산한 오답입니다.

자주 묻는 질문

전위함수가 주어졌을 때 전계의 세기는 어떻게 구하나요?

전계의 세기는 전위함수의 기울기(gradient)에 음의 부호를 취하여 구합니다. 즉,

E = - \nabla V

공식을 사용하여 각 좌표축에 대해 편미분합니다.

진공 중에서 정전에너지 밀도를 구하는 공식은 무엇인가요?

진공 중의 정전에너지 밀도

w

는

w = \frac{1}{2} ϵ_{0} E^{2}

으로 계산합니다. 여기서

ϵ_{0}

는 진공의 유전율,

E

는 전계의 세기입니다.

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