상태공간해석

전기기사 필기 2021년 2회 63번

Q: 상태방정식에서 특성방정식은 어떻게 구하나요?

상태방정식 $\dot{x} = Ax + Bu$에서 시스템 행렬 $A$를 추출한 후, $|sI - A| = 0$ 식을 계산하여 구합니다. 여기서 $I$는 단위행렬입니다.

과목 / 챕터	회로이론 및 제어공학 / 제어공학
인지 유형	calculation
난이도	Level 3

Q문제

다음과 같은 상태방정식으로 표현되는 제어시스템의 특성방정식의 근(

s_{1}, s_{2}

)은?

[\overset{x}{˙}_{1} \overset{x}{˙}_{2}] = [0 - 2 1 - 3] [x_{1} x_{2}] + [01] u

유사 문제 링크

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선택지 분석

1, -3

오답 함정 분석

특성방정식

s^{2} + 3 s + 2 = 0

의 근을 잘못 계산하여 부호나 인수분해를 착각한 오답입니다.

-1, -2

정답 상세 해설

주어진 상태방정식에서 시스템 행렬

A

를 추출하여 특성방정식

∣ s I - A ∣ = 0

을 계산하면 특성근을 찾을 수 있습니다.

•

Step 1: 주어진 상태방정식

\overset{x}{˙} = A x + B u

형태에서 시스템 행렬

A

는

[0 - 2 1 - 3]

입니다.

•

Step 2: 특성방정식을 구하기 위해

s I - A

를 계산합니다.

s I - A = [s 0 0 s] - [0 - 2 1 - 3] = [s 2 - 1 s + 3]

입니다.

•

Step 3: 행렬식

∣ s I - A ∣ = 0

을 계산합니다.

s (s + 3) - (- 1) (2) = s^{2} + 3 s + 2 = 0

입니다.

•

Step 4: 특성방정식

s^{2} + 3 s + 2 = 0

을 인수분해하면

(s + 1) (s + 2) = 0

이 되므로, 구하고자 하는 특성근은

s = - 1, - 2

입니다.

-2, -3

오답 함정 분석

시스템 행렬

A

의 2행 요소인 -2와 -3을 그대로 특성근으로 착각한 오답입니다.

-1, -3

오답 함정 분석

특성방정식의 인수분해 과정에서 상수항 계산 오류로 인해 도출된 잘못된 근입니다.

자주 묻는 질문

상태방정식에서 특성방정식은 어떻게 구하나요?

상태방정식

\overset{x}{˙} = A x + B u

에서 시스템 행렬

A

를 추출한 후,

∣ s I - A ∣ = 0

식을 계산하여 구합니다. 여기서

I

는 단위행렬입니다.

특성방정식의 근이 의미하는 바는 무엇인가요?

특성방정식의 근은 제어시스템의 극점(Pole)을 의미하며, 시스템의 안정도와 과도응답 특성을 결정하는 중요한 요소입니다.

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