다음과 같은 상태방정식 $\dot{x}(t) = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -3 & -4 \end{bmatrix} x(t)$ 로 표현되는 제어시스템의 상태천이행렬 $\Phi(t)$는?

$\begin{bmatrix} 1.5e^{-t}-0.5e^{-3t} & 0.5e^{-t}-0.5e^{-3t} \\ -1.5e^{-t}+1.5e^{-3t} & -0.5e^{-t}+1.5e^{-3t} \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 1.5e^{-t}-0.5e^{-3t} & -1.5e^{-t}+1.5e^{-3t} \\ 0.5e^{-t}-0.5e^{-3t} & -0.5e^{-t}+1.5e^{-3t} \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 1.5e^{-t}-0.5e^{-3t} & 0.5e^{-t}-0.5e^{-3t} \\ -1.5e^{-t}+1.5e^{-3t} & -0.5e^{-t}+1.5e^{-3t} \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 1.5e^{-t}-0.5e^{-4t} & 0.5e^{-t}-0.5e^{-4t} \\ -1.5e^{-t}+1.5e^{-4t} & -0.5e^{-t}+1.5e^{-4t} \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 1.5e^{-t}-0.5e^{-4t} & -1.5e^{-t}+1.5e^{-4t} \\ 0.5e^{-t}-0.5e^{-4t} & -0.5e^{-t}+1.5e^{-4t} \end{bmatrix}$

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상태공간해석

전기기사 필기 2022년 2회 67번

Q: $(sI-A)$의 역행렬을 구할 때 분모는 무엇이 되나요?

분모는 행렬 $(sI-A)$의 행렬식(determinant)이 되며, 이를 0으로 만드는 식이 시스템의 특성방정식입니다.

과목 / 챕터	회로이론 및 제어공학 / 제어공학
인지 유형	calculation
난이도	Level 3

Q문제

다음과 같은 상태방정식

\overset{x}{˙} (t) = [0 - 3 1 - 4] x (t)

로 표현되는 제어시스템의 상태천이행렬

Φ (t)

는?

유사 문제 링크

2013-3-q67 2009-3-q69 2008-1-q80 2006-3-q74 2019-2-q67

선택지 분석

[1.5 e^{- t} - 0.5 e^{- 3 t} 0.5 e^{- t} - 0.5 e^{- 3 t} - 1.5 e^{- t} + 1.5 e^{- 3 t} - 0.5 e^{- t} + 1.5 e^{- 3 t}]

오답 함정 분석

역행렬 계산 시 비대각 원소의 부호 또는 위치를 혼동하여 잘못 도출한 오답입니다.

[1.5 e^{- t} - 0.5 e^{- 3 t} - 1.5 e^{- t} + 1.5 e^{- 3 t} 0.5 e^{- t} - 0.5 e^{- 3 t} - 0.5 e^{- t} + 1.5 e^{- 3 t}]

정답 상세 해설

상태천이행렬

Φ (t)

는

(s I - A)^{- 1}

의 라플라스 역변환을 통해 구합니다.

•

Step 1. 주어진 상태방정식에서 시스템 행렬

A = [0 - 3 1 - 4]

입니다.

•

Step 2.

(s I - A) = [s 3 - 1 s + 4]

이며, 역행렬

(s I - A)^{- 1} = \frac{1}{s ( s + 4 ) - ( - 1 ) ( 3 )} [s + 4 - 3 1 s] = \frac{1}{s ^{2} + 4 s + 3} [s + 4 - 3 1 s]

입니다.

•

Step 3. 각 원소를 부분분수로 전개합니다.

Φ_{11} (s) = \frac{s + 4}{( s + 1 ) ( s + 3 )} = \frac{1.5}{s + 1} - \frac{0.5}{s + 3}

Φ_{12} (s) = \frac{1}{( s + 1 ) ( s + 3 )} = \frac{0.5}{s + 1} - \frac{0.5}{s + 3}

Φ_{21} (s) = \frac{- 3}{( s + 1 ) ( s + 3 )} = \frac{- 1.5}{s + 1} + \frac{1.5}{s + 3}

Φ_{22} (s) = \frac{s}{( s + 1 ) ( s + 3 )} = \frac{- 0.5}{s + 1} + \frac{1.5}{s + 3}

•

Step 4. 각 원소를 라플라스 역변환하여

Φ (t)

를 구합니다.

Φ (t) = [1.5 e^{- t} - 0.5 e^{- 3 t} - 1.5 e^{- t} + 1.5 e^{- 3 t} 0.5 e^{- t} - 0.5 e^{- 3 t} - 0.5 e^{- t} + 1.5 e^{- 3 t}]

입니다.

[1.5 e^{- t} - 0.5 e^{- 4 t} - 1.5 e^{- t} + 1.5 e^{- 4 t} 0.5 e^{- t} - 0.5 e^{- 4 t} - 0.5 e^{- t} + 1.5 e^{- 4 t}]

오답 함정 분석

특성방정식의 근을

s = - 1, s = - 4

로 잘못 계산하여 지수함수의 항을

e^{- 4 t}

로 도출한 오답입니다.

[1.5 e^{- t} - 0.5 e^{- 4 t} 0.5 e^{- t} - 0.5 e^{- 4 t} - 1.5 e^{- t} + 1.5 e^{- 4 t} - 0.5 e^{- t} + 1.5 e^{- 4 t}]

오답 함정 분석

특성방정식의 근을 잘못 계산함과 동시에 역행렬의 원소 위치까지 혼동한 오답입니다.

자주 묻는 질문

상태천이행렬은 물리적으로 어떤 의미를 가지나요?

상태천이행렬은 시스템의 초기 상태가 시간이 지남에 따라 어떻게 변화하는지를 나타내는 행렬입니다.

(s I - A)

의 역행렬을 구할 때 분모는 무엇이 되나요?

분모는 행렬

(s I - A)

의 행렬식(determinant)이 되며, 이를 0으로 만드는 식이 시스템의 특성방정식입니다.

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