라플라스변환

전기기사 필기 2006년 1회 64번

Q: 복소 추이 정리란 무엇인가요?

시간 영역의 함수에 지수 함수 $e^{at}$가 곱해졌을 때, 라플라스 변환된 $s$ 영역에서 $s$ 대신 $s-a$로 평행 이동하는 정리입니다.

Q: $t^n$의 라플라스 변환 공식은 어떻게 되나요?

$\mathcal{L}\{t^n\} = \frac{n!}{s^{n+1}}$ 입니다. 따라서 $n=1$일 때 $\mathcal{L}\{t\} = \frac{1}{s^2}$이 됩니다.

과목 / 챕터	회로이론 및 제어공학 / 회로이론
인지 유형	calculation
난이도	Level 2

Q문제

f (t) = t e^{- 3 t}

일 때 라플라스 변환은?

유사 문제 링크

2022-2-q80 2006-3-q61 2019-3-q77 2005-1-q61 2021-2-q71

선택지 분석

\frac{1}{( s + 3 ) ^{2}}

정답 상세 해설

주어진 함수

f (t) = t e^{- 3 t}

의 라플라스 변환은 복소 추이 정리를 이용하여

\frac{1}{( s + 3 ) ^{2}}

로 계산됩니다.

•

Step 1: 기본 함수

t

의 라플라스 변환을 구합니다.

L {t} = \frac{1}{s ^{2}}

입니다.

•

Step 2: 복소 추이 정리(주파수 천이 정리)를 적용합니다.

L {e^{a t} f (t)} = F (s - a)

이므로, 주어진 식에서

a = - 3

을 대입합니다.

•

Step 3: 따라서

L {t e^{- 3 t}} = \frac{1}{s ^{2}}_{s \to s + 3} = \frac{1}{( s + 3 ) ^{2}}

가 됩니다.

\frac{1}{( s - 3 ) ^{2}}

오답 함정 분석

지수 함수의 부호를 반대로 적용하여

e^{3 t}

가 곱해진 것으로 착각한 결과입니다.

\frac{1}{s - 3}

오답 함정 분석

함수

t

가 곱해진 것을 고려하지 않고

e^{3 t}

의 라플라스 변환을 구한 결과입니다.

\frac{1}{s + 3}

오답 함정 분석

함수

t

가 곱해진 것을 고려하지 않고

e^{- 3 t}

의 라플라스 변환을 구한 결과입니다.

자주 묻는 질문

복소 추이 정리란 무엇인가요?

시간 영역의 함수에 지수 함수

e^{a t}

가 곱해졌을 때, 라플라스 변환된

s

영역에서

s

대신

s - a

로 평행 이동하는 정리입니다.

t^{n}

의 라플라스 변환 공식은 어떻게 되나요?

L {t^{n}} = \frac{n !}{s ^{n + 1}}

입니다. 따라서

n = 1

일 때

L {t} = \frac{1}{s ^{2}}

이 됩니다.

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