샘플값제어

전기기사 필기 2020년 3회 70번

Q문제

r (t)

의

z

변환을

E (z)

라고 했을 때

e (t)

의 초기값

e (0)

는?

유사 문제 링크

선택지 분석

lim_{z \to 1} E (z)

Z-변환에서 극한을 z가 1로 갈 때 취하는 것은 초기값 정리와 무관한 수식입니다.

lim_{z \to \infty} E (z)

Z-변환의 초기값 정리에 의해 시간 함수 e(t)의 초기값 e(0)는 \lim_{z \to \infty} E(z)로 구합니다.

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Step 1: 이산 시간 신호 e(t)의 Z-변환 E(z)의 정의식은 E(z) = e(0) + e(T)z^{-1} + e(2T)z^{-2} + \cdots 입니다.

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Step 2: 위 정의식의 양변에 극한 \lim_{z \to \infty}를 취합니다.

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Step 3: z가 무한대로 갈 때 z^{-1}, z^{-2} 등의 항은 모두 0으로 수렴하므로 우변에는 첫 번째 항인 e(0)만 남게 되어 e(0) = \lim_{z \to \infty} E(z)가 성립합니다.

lim_{z \to 1} (1 - z^{- 1}) E (z)

해당 수식은 초기값 정리가 아닌 Z-변환의 최종값 정리(e(\infty))를 나타내는 공식입니다.

lim_{z \to \infty} (1 - z^{- 1}) E (z)

초기값 정리 수식에 불필요한 (1-z^{-1}) 항이 곱해져 있으며, 극한의 방향도 최종값 정리와 혼합된 잘못된 형태입니다.

Z-변환의 최종값 정리는 무엇인가요?

Z-변환의 최종값 정리는 시간 함수 e(t)의 시간이 무한대로 흐를 때의 값인 e(\infty)를 구하는 정리로, e(\infty) = \lim_{z \to 1} (1-z^{-1})E(z)로 표현합니다.

초기값 정리를 증명할 때 왜 z를 무한대로 보내는 극한을 취하나요?

Z-변환의 급수 전개식에서 z를 무한대로 보내면 z의 역수 거듭제곱 항들이 모두 0이 소거되어, 오직 상수항인 초기값 e(0)만 남길 수 있기 때문입니다.