반지름이 $a(m)$, $b(m)$인 두 개의 구 형상 도체 전극이 도전율 $k$인 매질 속에 거리 $r(m)$만큼 떨어져 있다. 양 전극 간의 저항 $(\Omega)$은? (단, $r \gg a, r \gg b$ 이다.)

$\frac{1}{4\pi k} (\frac{1}{a} + \frac{1}{b} - \frac{2}{r})$

$\frac{1}{4\pi k} (\frac{1}{a} + \frac{1}{b})$

$\frac{1}{4\pi k} (\frac{1}{a} - \frac{1}{b})$

$\frac{1}{4\pi k} (\frac{1}{a} + \frac{1}{b} - \frac{2}{r})$

$\frac{1}{4\pi k} (\frac{1}{a} + \frac{1}{b} - \frac{1}{r})$

문제 탐색

저항률 및 도전율

전기기사 필기 2020년 3회 19번

Q: 정전용량 C와 저항 R은 어떤 관계가 있나요?

도전율이 $k$이고 유전율이 $\epsilon$인 매질에서 정전용량 $C$와 저항 $R$ 사이에는 $RC = \frac{\epsilon}{k}$ (또는 $RC = \rho\epsilon$)의 관계가 성립합니다.

Q: 두 구 도체 사이의 전위차를 구할 때 왜 $\frac{2}{r}$ 항이 생기나요?

구 1의 전위에 구 2의 전하 $-Q$가 미치는 영향($-\frac{1}{r}$)과 구 2의 전위에 구 1의 전하 $+Q$가 미치는 영향($+\frac{1}{r}$)을 각각 고려한 후, 두 전위의 차이($V_1 - V_2$)를 구하기 때문에 결과적으로 $\frac{2}{r}$ 항이 발생합니다.

과목 / 챕터	전기자기학 / 전계의 특수 해법 및 전류
인지 유형	calculation
난이도	Level 4

Q문제

반지름이

a (m)

b (m)

인 두 개의 구 형상 도체 전극이 도전율

k

인 매질 속에 거리

r (m)

만큼 떨어져 있다. 양 전극 간의 저항

(Ω)

은? (단,

r ≫ a, r ≫ b

이다.)

유사 문제 링크

2010-1-q16 2022-1-q19 2009-1-q13 2011-3-q9 2011-2-q20

선택지 분석

\frac{1}{4 π k} (\frac{1}{a} + \frac{1}{b})

오답 함정 분석

두 전극 사이의 거리 r에 의한 상호 전위 영향을 완전히 무시한 수식입니다.

\frac{1}{4 π k} (\frac{1}{a} - \frac{1}{b})

오답 함정 분석

전위차를 구할 때 두 전극의 전위 부호를 잘못 적용하여 뺄셈으로 계산한 수식입니다.

\frac{1}{4 π k} (\frac{1}{a} + \frac{1}{b} - \frac{2}{r})

정답 상세 해설

두 구형 도체 전극 간의 저항을 구하기 위해 정전용량과 저항의 관계식인

R C = \frac{ϵ}{k}

를 이용합니다.

•

Step 1: 두 구 도체 사이의 전위차를 구합니다. 구 1에

+ Q

, 구 2에

- Q

의 전하가 있다고 가정할 때, 구 1의 전위는

V_{1} = \frac{Q}{4 π ϵ a} - \frac{Q}{4 π ϵr}

이고, 구 2의 전위는

V_{2} = - \frac{Q}{4 π ϵ b} + \frac{Q}{4 π ϵr}

입니다.

•

Step 2: 양 전극 간의 전위차

V

를 계산합니다.

V = V_{1} - V_{2} = \frac{Q}{4 π ϵ} (\frac{1}{a} - \frac{1}{r}) - \frac{Q}{4 π ϵ} (- \frac{1}{b} + \frac{1}{r}) = \frac{Q}{4 π ϵ} (\frac{1}{a} + \frac{1}{b} - \frac{2}{r})

입니다.

•

Step 3: 정전용량

C

와 저항

R

을 계산합니다.

C = \frac{Q}{V} = \frac{4 π ϵ}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b} - \frac{2}{r}}

이며,

R = \frac{ϵ}{k C}

이므로

R = \frac{1}{4 π k} (\frac{1}{a} + \frac{1}{b} - \frac{2}{r})

가 됩니다.

\frac{1}{4 π k} (\frac{1}{a} + \frac{1}{b} - \frac{1}{r})

오답 함정 분석

전위차 계산 시 두 구 사이의 상호 전위 영향을 한쪽 구에 대해서만 고려하여

\frac{2}{r}

가 아닌

\frac{1}{r}

로 잘못 계산한 수식입니다.

자주 묻는 질문

정전용량 C와 저항 R은 어떤 관계가 있나요?

도전율이

k

이고 유전율이

ϵ

인 매질에서 정전용량

C

와 저항

R

사이에는

R C = \frac{ϵ}{k}

(또는

R C = ρ ϵ

)의 관계가 성립합니다.

두 구 도체 사이의 전위차를 구할 때 왜

\frac{2}{r}

항이 생기나요?

구 1의 전위에 구 2의 전하

- Q

가 미치는 영향(

- \frac{1}{r}

)과 구 2의 전위에 구 1의 전하

+ Q

가 미치는 영향(

+ \frac{1}{r}

)을 각각 고려한 후, 두 전위의 차이(

V_{1} - V_{2}

)를 구하기 때문에 결과적으로

\frac{2}{r}

항이 발생합니다.

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