다음 정전계에 관한 식 중에서 틀린 것은? (단, $D$는 전속밀도, $V$는 전위, $\rho$는 공간(체적)전하밀도, $\epsilon$은 유전율이다.)

포아송의 방정식 : $\nabla^2 V = \rho/\epsilon$

가우스의 정리 : $\text{div}D = \rho$

포아송의 방정식 : $\nabla^2 V = \rho/\epsilon$

발산의 정리 : $\oint D \cdot ds = \int \text{div}D \, dv$

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가우스의 정리

전기기사 필기 2020년 3회 15번

Q: 포아송의 방정식에서 왜 마이너스(-) 부호가 붙나요?

전계의 방향이 전위가 높은 곳에서 낮은 곳으로 향하기 때문에, 전계와 전위의 관계식($E = -\nabla V$)에서 발생하는 마이너스 부호가 수식에 반영됩니다.

Q: 라플라스 방정식은 언제 사용하나요?

공간 내에 자유 전하가 존재하지 않는($\rho=0$) 영역에서 전위 분포를 구할 때 사용합니다.

과목 / 챕터	전기자기학 / 진공 중의 정전계
인지 유형	memory
난이도	Level 3

Q문제

다음 정전계에 관한 식 중에서 틀린 것은? (단,

D

는 전속밀도,

V

는 전위,

ρ

는 공간(체적)전하밀도,

ϵ

은 유전율이다.)

유사 문제 링크

2020-3-q1 2021-2-q10 2013-1-q17 2006-1-q10 2013-1-q20

선택지 분석

가우스의 정리 :

div D = ρ

오답 함정 분석

가우스 정리의 미분형인

div D = ρ

는 전계의 발산과 전하밀도의 관계를 정확히 나타낸 식입니다.

포아송의 방정식 :

\nabla^{2} V = ρ / ϵ

정답 상세 해설

포아송의 방정식은 전위의 라플라시안과 전하밀도의 관계를 나타내며, 우변의 부호는 음수(-)가 되어야 합니다.

•

Step 1: 가우스 정리의 미분형

\nabla \cdot D = ρ

와 전속밀도와 전계의 관계

D = ϵ E

를 결합하면

\nabla \cdot (ϵ E) = ρ

가 됩니다.

•

Step 2: 전계와 전위의 관계식

E = - \nabla V

를 대입하면

\nabla \cdot (- ϵ \nabla V) = ρ

가 도출됩니다.

•

Step 3: 양변을 정리하면

\nabla^{2} V = - \frac{ρ}{ϵ}

이 되므로, 보기의 식은 부호가 잘못 표기되었습니다.

라플라스의 방정식 :

\nabla^{2} V = 0

오답 함정 분석

라플라스 방정식은 전하가 존재하지 않는 영역(

ρ = 0

)에서의 포아송 방정식의 특수 형태로, 옳은 식입니다.

발산의 정리 :

\oint D \cdot d s = \int div D d v

오답 함정 분석

발산 정리는 폐곡면을 통과하는 전속의 총합이 내부 체적의 발산량의 합과 같음을 나타내는 수학적 항등식으로, 옳은 식입니다.

자주 묻는 질문

포아송의 방정식에서 왜 마이너스(-) 부호가 붙나요?

전계의 방향이 전위가 높은 곳에서 낮은 곳으로 향하기 때문에, 전계와 전위의 관계식(

E = - \nabla V

)에서 발생하는 마이너스 부호가 수식에 반영됩니다.

라플라스 방정식은 언제 사용하나요?

공간 내에 자유 전하가 존재하지 않는(

ρ = 0

) 영역에서 전위 분포를 구할 때 사용합니다.

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