안정도판별법

전기기사 필기 2020년 3회 65번

Q문제

Routh-Hurwitz 방법으로 특성방정식이

s^{4} + 2 s^{3} + s^{2} + 4 s + 2 = 0

인 시스템의 안정도를 판별하면?

유사 문제 링크

선택지 분석

안정

Routh 배열의 제1열에서 부호 변화가 발생하므로 안정한 시스템이 아닙니다.

불안정

주어진 특성방정식의 Routh 배열 제1열에서 부호 변화가 발생하므로 시스템은 불안정합니다.

•

Step 1: 특성방정식

s^{4} + 2 s^{3} + s^{2} + 4 s + 2 = 0

의 계수를 이용하여 Routh 배열의 1행과 2행을 작성합니다.

s^{4}

행은 1, 1, 2이고,

s^{3}

행은 2, 4, 0입니다.

•

Step 2:

s^{2}

행의 요소를 계산합니다. 첫 번째 요소는

\frac{2 \times 1 - 1 \times 4}{2} = - 1

이고, 두 번째 요소는

\frac{2 \times 2 - 1 \times 0}{2} = 2

입니다.

•

Step 3:

s^{1}

행의 요소를 계산합니다. 첫 번째 요소는

\frac{- 1 \times 4 - 2 \times 2}{- 1} = 8

입니다.

•

Step 4:

s^{0}

행의 요소를 계산합니다. 첫 번째 요소는

\frac{8 \times 2 - ( - 1 ) \times 0}{8} = 2

입니다.

•

Step 5: Routh 배열의 제1열 요소는 1, 2, -1, 8, 2입니다. 부호가 양수에서 음수로, 다시 음수에서 양수로 총 2회 변하므로 우반면에 2개의 근이 존재하여 시스템은 불안정합니다.

임계안정

임계안정은 Routh 배열의 특정 행이 모두 0이 될 때 발생하지만, 본 문제에서는 해당하지 않습니다.

조건부 안정

조건부 안정은 이득 K 등의 변수 범위에 따라 안정도가 달라지는 경우를 의미하며, 본 문제의 특성방정식은 상수로 고정되어 있어 불안정으로 확정됩니다.

Routh 배열에서 제1열의 부호 변화 횟수는 무엇을 의미하나요?

제1열의 부호 변화 횟수는 특성방정식의 근 중 복소평면의 우반면에 존재하는 근의 개수를 의미합니다. 우반면에 근이 하나라도 존재하면 시스템은 불안정합니다.

Routh 배열을 작성할 때 계산 실수를 줄이는 방법이 있나요?

각 행을 계산할 때 공통 인수가 있다면 양의 상수로 나누어 숫자를 단순화한 뒤 다음 행을 계산하면 실수를 줄일 수 있습니다.