안정도판별법

전기기사 필기 2008년 1회 79번

Q: Routh 배열의 $s^1$ 행 계산 시 분모가 0이 되는 경우는 어떻게 처리하나요?

제1열의 원소가 0이 되는 경우, 0을 매우 작은 양수 $\epsilon$으로 대체하여 배열을 계속 작성한 후 $\epsilon \to 0$의 극한을 취해 부호 변화를 판별합니다.

과목 / 챕터	회로이론 및 제어공학 / 제어공학
인지 유형	calculation
난이도	Level 3

Q문제

특성 방정식이

s^{4} + s^{3} + 3 s^{2} + K s + 2 = 0

인 제어계가 안정하기 위한

K

의 범위는?

유사 문제 링크

2018-1-q66 2015-1-q68 2006-3-q80 2008-1-q72 2010-2-q63

선택지 분석

0 < K < 3

오답 함정 분석

Routh 배열의

s^{2}

행 조건만 고려하고

s^{1}

행의 조건을 누락하여 잘못된 범위를 도출한 오답입니다.

2 < K < 3

오답 함정 분석

s^{1}

행의 부등식 방향을 반대로 해석하거나 계산 실수로 인해 도출된 잘못된 범위입니다.

1 < K < 2

정답 상세 해설

제어계가 안정하기 위해서는 Routh 배열의 제1열의 모든 원소가 양수이어야 합니다.

•

Step 1: 주어진 특성 방정식

s^{4} + s^{3} + 3 s^{2} + K s + 2 = 0

을 이용하여 Routh 배열을 작성합니다.

s^{4}

행: 1, 3, 2

s^{3}

행: 1,

K

, 0

s^{2}

행:

\frac{1 \times 3 - 1 \times K}{1} = 3 - K

\frac{1 \times 2 - 1 \times 0}{1} = 2

s^{1}

행:

\frac{( 3 - K ) K - 1 \times 2}{3 - K} = \frac{- K ^{2} + 3 K - 2}{3 - K}

s^{0}

행: 2

•

Step 2: 제1열의 모든 원소가 양수이어야 하므로 다음 부등식을 만족해야 합니다. 1)

3 - K > 0 ⟹ K < 3

\frac{- K ^{2} + 3 K - 2}{3 - K} > 0

•

Step 3: 조건 1)에서

3 - K > 0

이므로, 조건 2)의 분자도 양수이어야 합니다.

- K^{2} + 3 K - 2 > 0 ⟹ K^{2} - 3 K + 2 < 0

(K - 1) (K - 2) < 0 ⟹ 1 < K < 2

•

Step 4:

K < 3

과

1 < K < 2

의 공통 범위를 구하면 최종적으로

1 < K < 2

가 됩니다.

3 < K

오답 함정 분석

Routh 배열의

s^{2}

행 조건인

3 - K > 0

을

3 - K < 0

으로 잘못 해석하여 도출된 오답입니다.

자주 묻는 질문

Routh-Hurwitz 판별법에서 제1열의 원소 중 음수가 있으면 어떻게 되나요?

Routh 배열의 제1열에 부호 변화가 발생하면, 부호가 변한 횟수만큼 특성 방정식의 근이 우반평면에 존재하게 되어 제어계는 불안정해집니다.

Routh 배열의

s^{1}

행 계산 시 분모가 0이 되는 경우는 어떻게 처리하나요?

제1열의 원소가 0이 되는 경우, 0을 매우 작은 양수

ϵ

으로 대체하여 배열을 계속 작성한 후

ϵ \to 0

의 극한을 취해 부호 변화를 판별합니다.

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