라플라스변환

전기기사 필기 2020년 2회 71번

시간 영역에서 지수 함수 $e^{-at}$가 곱해진 함수를 라플라스 변환할 때, 원래 함수의 라플라스 변환 결과인 $F(s)$에서 $s$ 대신 $s+a$를 대입하는 정리입니다.

$t^n$의 라플라스 변환은 $\frac{n!}{s^{n+1}}$입니다. (단, $n$은 양의 정수)

Q문제

f (t) = t^{2} e^{- a t}

를 라플라스 변환하면?

유사 문제 링크

선택지 분석

\frac{2}{( s + a ) ^{2}}

t^{1} e^{- a t}

의 라플라스 변환 결과로 착각한 오답입니다.

\frac{3}{( s + a ) ^{2}}

분자를 3으로, 분모의 차수를 2로 잘못 계산한 오답입니다.

\frac{2}{( s + a ) ^{3}}

f (t) = t^{2} e^{- a t}

의 라플라스 변환 결과는

\frac{2}{( s + a ) ^{3}}

입니다.

•

Step 1: 기본 함수

t^{n}

의 라플라스 변환 공식을 적용합니다.

L [t^{n}] = \frac{n !}{s ^{n + 1}}

이므로,

n = 2

일 때

L [t^{2}] = \frac{2 !}{s ^{3}} = \frac{2}{s ^{3}}

입니다.

•

Step 2: 복소추이 정리(제1 이동 정리)를 적용합니다.

L [e^{- a t} f (t)] = F (s + a)

입니다.

•

Step 3: Step 1의 결과에서

s

대신

s + a

를 대입합니다. 따라서

L [t^{2} e^{- a t}] = \frac{2}{( s + a ) ^{3}}

이 됩니다.

\frac{3}{( s + a ) ^{3}}

분자를

2!

이 아닌 3으로 잘못 계산한 오답입니다.

복소추이 정리(제1 이동 정리)란 무엇인가요?

시간 영역에서 지수 함수

e^{- a t}

가 곱해진 함수를 라플라스 변환할 때, 원래 함수의 라플라스 변환 결과인

F (s)

에서

s

대신

s + a

를 대입하는 정리입니다.

t^{n}

의 라플라스 변환 공식은 어떻게 되나요?

t^{n}

의 라플라스 변환은

\frac{n !}{s ^{n + 1}}

입니다. (단,

n

은 양의 정수)