근궤적과 자동제어의 보상

전기기사 필기 2006년 1회 77번

Q문제

특성방정식이 실수계수를 갖는

S

의 유리함수일 때 근궤적은 무슨 축에 대하여 대칭인가?

유사 문제 링크

선택지 분석

실수축

특성방정식의 계수가 실수인 경우 복소근은 반드시 공액복소수 쌍으로 존재하므로 근궤적은 실수축에 대하여 대칭입니다.

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Step 1: 근궤적의 정의를 확인합니다. 근궤적은 시스템의 파라미터(주로 이득 K)가 변화함에 따라 특성방정식의 근이 복소평면상에서 이동하는 경로를 의미합니다.

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Step 2: 실수 계수 방정식의 근의 성질을 적용합니다. 대수학의 기본 원리에 따라 계수가 모두 실수인 다항식에서 복소수 근이 발생하면, 그 공액복소수(켤레복소수) 또한 반드시 해당 방정식의 근이 됩니다.

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Step 3: 기하학적 대칭성을 도출합니다. 복소수

s = a + j b

와 그 공액복소수

s = a - j b

는 복소평면에서 실수축을 기준으로 상하 대칭인 위치에 놓입니다. 따라서 모든 궤적은 실수축을 중심으로 대칭을 이룹니다.

허수축

근궤적이 허수축을 가로질러 우반평면으로 이동하는 것은 시스템의 안정도 변화를 나타내는 지표일 뿐 대칭축은 아닙니다.

대상축이 없다.

실수 계수를 갖는 특성방정식은 반드시 공액복소수 근의 성질에 의해 대칭성을 가집니다.

원점

원점 대칭은 기함수적 성질이나 특정 좌표 변환 시 나타날 수 있으나 근궤적의 일반적인 대칭 성질은 아닙니다.

근궤적이 항상 실수축에 대칭인 이유는 무엇인가요?

특성방정식의 모든 계수가 실수일 때, 복소수 근은 항상 켤레 쌍으로 존재하기 때문에 복소평면의 실수축을 기준으로 상하가 똑같은 모양을 갖게 됩니다.

계수가 실수가 아닌 경우에도 실수축 대칭이 성립하나요?

아니요, 특성방정식의 계수에 복소수가 포함되어 있다면 공액복소수 근의 성질이 성립하지 않으므로 실수축 대칭이 보장되지 않습니다.