전기영상법

전기기사 필기 2018년 3회 6번

Q: 평면도체와 점전하 사이의 정전에너지를 구하는 공식과 일의 관계는 어떻게 되나요?

점전하와 평면도체 사이의 축적된 정전에너지는 $W = -\frac{Q^2}{16\pi\epsilon_0 d}$ 입니다. 점전하를 무한원점까지 이동시키는 데 필요한 일은 이 정전에너지의 절댓값과 같으므로 $\frac{Q^2}{16\pi\epsilon_0 d}$ 가 됩니다.

과목 / 챕터	전기자기학 / 전계의 특수 해법 및 전류
인지 유형	calculation
난이도	Level 3

Q문제

평면도체 표면에서

d [m]

거리에 점전하

Q [C]

이 있을 때 이 전하를 무한원점까지 운반하는데 필요한 일

[J]

은?

유사 문제 링크

2008-1-q18 2016-1-q8 2022-1-q19 2022-1-q18 2020-1-q20

선택지 분석

Q^{2} /4 π ϵ_{0} d

오답 함정 분석

영상전하와의 거리를

2 x

가 아닌

x

로 잘못 적용하여 쿨롱의 힘을 계산한 오류입니다.

Q^{2} /8 π ϵ_{0} d

오답 함정 분석

힘을 계산할 때 분모의 거리 항을

(2 x)^{2}

가 아닌

2 x^{2}

등으로 잘못 계산하여 도출된 오답입니다.

Q^{2} /16 π ϵ_{0} d

정답 상세 해설

평면도체 앞의 점전하를 무한원점까지 이동시키는 데 필요한 일은 전기영상법을 이용하여 계산합니다.

•

Step 1: 전기영상법에 따라 평면도체 표면에서

x

거리에 있는 점전하

+ Q

는 도체 반대편

x

거리에 있는 영상전하

- Q

와 상호작용하는 것과 같습니다.

•

Step 2: 점전하

+ Q

와 영상전하

- Q

사이의 거리는

2 x

이므로, 점전하가 받는 흡인력

F

는 쿨롱의 법칙에 의해

F = \frac{Q \cdot ( - Q )}{4 π ϵ _{0} ( 2 x ) ^{2}} = - \frac{Q ^{2}}{16 π ϵ _{0} x ^{2}}

입니다.

•

Step 3: 이 전하를

x = d

에서

x = \infty

까지 운반하는 데 필요한 일

W

는 흡인력에 반하여 외력이 하는 일이므로

W = \int_{d}^{\infty} - F d x = \int_{d}^{\infty} \frac{Q ^{2}}{16 π ϵ _{0} x ^{2}} d x = \frac{Q ^{2}}{16 π ϵ _{0}} [- \frac{1}{x}]_{d}^{\infty} = \frac{Q ^{2}}{16 π ϵ _{0} d}

입니다.

Q^{2} /32 π ϵ_{0} d

오답 함정 분석

적분 과정에서 계수 계산을 실수하여 분모에 2가 추가로 곱해진 오답입니다.

자주 묻는 질문

전기영상법이란 무엇인가요?

도체 근처에 전하가 있을 때 도체 표면에 유도되는 복잡한 전하 분포를 직접 구하기 어려우므로, 도체 내부에 가상의 전하(영상전하)가 있다고 가정하여 전계나 정전력을 쉽게 계산하는 방법입니다.

평면도체와 점전하 사이의 정전에너지를 구하는 공식과 일의 관계는 어떻게 되나요?

점전하와 평면도체 사이의 축적된 정전에너지는

W = - \frac{Q ^{2}}{16 π ϵ _{0} d}

입니다. 점전하를 무한원점까지 이동시키는 데 필요한 일은 이 정전에너지의 절댓값과 같으므로

\frac{Q ^{2}}{16 π ϵ _{0} d}

가 됩니다.

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