중심은 원점에 있고 반지름 $a[m]$인 원형 선도체가 $z=0$인 평면에 있다. 도체에 선전하밀도 $\rho_L[C/m]$가 분포되어 있을 때 $z=b[m]$인 점에서 전계 $E[V/m]$는? (단, $a_r, a_z$는 원통 좌표계에서 $r$ 및 $z$ 방향의 단위벡터이다.)

$\frac{ab\rho_L}{2\epsilon_0(a^2+b^2)^{\frac{3}{2}}} a_z$

$\frac{ab\rho_L}{2\pi\epsilon_0(a^2+b^2)} a_r$

$\frac{ab\rho_L}{4\pi\epsilon_0(a^2+b^2)} a_z$

$\frac{ab\rho_L}{2\epsilon_0(a^2+b^2)^{\frac{3}{2}}} a_z$

$\frac{ab\rho_L}{4\epsilon_0(a^2+b^2)^{\frac{3}{2}}} a_z$

선전하밀도 $\rho_L$ 대신 총 전하량 $Q$가 주어지면 공식이 어떻게 바뀌나요?

원형 선도체의 총 전하량 $Q = \rho_L \cdot 2\pi a$이므로, $\rho_L = \frac{Q}{2\pi a}$를 대입하면 전계는 $\vec{E} = \frac{Qb}{4\pi\epsilon_0(a^2+b^2)^{\frac{3}{2}}} a_z$가 됩니다.

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전계

전기기사 필기 2017년 3회 17번

과목 / 챕터	전기자기학 / 진공 중의 정전계
인지 유형	calculation
난이도	Level 4

Q문제

중심은 원점에 있고 반지름

a [m]

인 원형 선도체가

z = 0

인 평면에 있다. 도체에 선전하밀도

ρ_{L} [C / m]

가 분포되어 있을 때

z = b [m]

인 점에서 전계

E [V / m]

는? (단,

a_{r}, a_{z}

는 원통 좌표계에서

r

및

z

방향의 단위벡터이다.)

유사 문제 링크

2003-3-q14 2003-3-q13 2003-3-q10 2007-2-q11 2005-2-q10

선택지 분석

\frac{ab ρ _{L}}{2 π ϵ _{0} ( a ^{2} + b ^{2} )} a_{r}

오답 함정 분석

대칭성에 의해

a_{r}

방향 성분은 상쇄되어 0이 되며, 분모의 차수와 상수항이 잘못 계산된 오답입니다.

\frac{ab ρ _{L}}{4 π ϵ _{0} ( a ^{2} + b ^{2} )} a_{z}

오답 함정 분석

거리의 세제곱근이 아닌 제곱근을 적용하여 분모의 차수가 잘못되었고, 적분 과정에서

2 π

가 약분되지 않은 오답입니다.

\frac{ab ρ _{L}}{2 ϵ _{0} ( a ^{2} + b ^{2} ) ^{\frac{3}{2}}} a_{z}

정답 상세 해설

중심이 원점이고 반지름이

a

인 원형 선전하에 의해

z

축 상의 점

z = b

에서 발생하는 전계의 세기는

\frac{ab ρ _{L}}{2 ϵ _{0} ( a ^{2} + b ^{2} ) ^{\frac{3}{2}}} a_{z}

입니다.

•

Step 1: 원형 선도체 상의 미소 길이

d l = a d ϕ

에 존재하는 미소 전하량은

d Q = ρ_{L} a d ϕ

입니다. 원천점에서 관측점

z = b

까지의 거리 벡터는

R = - a a_{r} + b a_{z}

이며, 거리의 크기는

R = a^{2} + b^{2}

입니다.

•

Step 2: 미소 전하

d Q

에 의한 미소 전계는

d E = \frac{d Q}{4 π ϵ _{0} R ^{3}} R = \frac{ρ _{L} a d ϕ}{4 π ϵ _{0} ( a ^{2} + b ^{2} ) ^{3/2}} (- a a_{r} + b a_{z})

입니다. 원형 고리의 대칭성에 의해 수평 방향(

a_{r}

) 성분은 적분 시 서로 상쇄되어 0이 되므로, 수직 방향(

a_{z}

) 성분만 남습니다.

•

Step 3: 수직 방향 성분

d E_{z} = \frac{ρ _{L} ab d ϕ}{4 π ϵ _{0} ( a ^{2} + b ^{2} ) ^{3/2}} a_{z}

를

ϕ = 0

부터

2 π

까지 적분합니다.

E = \int_{0}^{2 π} \frac{ρ _{L} ab}{4 π ϵ _{0} ( a ^{2} + b ^{2} ) ^{3/2}} d ϕ a_{z} = \frac{ρ _{L} ab \cdot 2 π}{4 π ϵ _{0} ( a ^{2} + b ^{2} ) ^{3/2}} a_{z} = \frac{ab ρ _{L}}{2 ϵ _{0} ( a ^{2} + b ^{2} ) ^{\frac{3}{2}}} a_{z}

가 됩니다.

\frac{ab ρ _{L}}{4 ϵ _{0} ( a ^{2} + b ^{2} ) ^{\frac{3}{2}}} a_{z}

오답 함정 분석

적분 구간

0

부터

2 π

까지의 계산 결과로 분모의

4 π

가

2

로 약분되어야 하나, 이를 누락하여 상수가 잘못된 오답입니다.

자주 묻는 질문

왜

a_{r}

방향의 전계 성분은 0이 되나요?

원형 선도체는 중심축을 기준으로 대칭을 이루고 있기 때문에, 마주보는 미소 전하에서 발생하는 전계의 수평 방향(

a_{r}

) 성분은 크기가 같고 방향이 반대되어 서로 상쇄됩니다. 따라서 중심축 상에서는 수직 방향(

a_{z}

) 성분만 남게 됩니다.

선전하밀도

ρ_{L}

대신 총 전하량

Q

가 주어지면 공식이 어떻게 바뀌나요?

원형 선도체의 총 전하량

Q = ρ_{L} \cdot 2 π a

이므로,

ρ_{L} = \frac{Q}{2 π a}

를 대입하면 전계는

E = \frac{Q b}{4 π ϵ _{0} ( a ^{2} + b ^{2} ) ^{\frac{3}{2}}} a_{z}

가 됩니다.

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