전위

전기기사 필기 2003년 3회 14번

전하가 없는 진공 또는 유전체 내에서 전위 분포를 구하기 위해 사용하는 편미분 방정식으로, $\nabla^2 V = 0$으로 표현됩니다.

네, 직각좌표계, 원통좌표계, 구좌표계에 따라 라플라시안($\nabla^2$) 연산자의 전개 형태가 다릅니다. 문제에 주어진 변수를 보고 알맞은 좌표계의 공식을 적용해야 합니다.

Q문제

전위함수에서 라플라스방정식을 만족하지 않는 것은?

유사 문제 링크

선택지 분석

V = r cos θ + ϕ

구좌표계의 라플라스 방정식을 적용하여 계산하면

\nabla^{2} V = 0

이 되어 라플라스 방정식을 만족하는 함수입니다.

V = x^{2} - y^{2} + z^{2}

주어진 전위함수 중 라플라스 방정식(

\nabla^{2} V = 0

)을 만족하지 않는 것은

V = x^{2} - y^{2} + z^{2}

입니다.

•

Step 1: 직각좌표계에서 라플라스 방정식은 전위

V

에 대해

\nabla^{2} V = \frac{\partial ^{2} V}{\partial x ^{2}} + \frac{\partial ^{2} V}{\partial y ^{2}} + \frac{\partial ^{2} V}{\partial z ^{2}} = 0

을 만족해야 합니다.

•

Step 2:

V = x^{2} - y^{2} + z^{2}

를 각 변수에 대해 두 번 편미분합니다.

x

에 대해 두 번 미분하면

2

y

에 대해 두 번 미분하면

- 2

z

에 대해 두 번 미분하면

2

가 됩니다.

•

Step 3: 편미분 결과를 모두 더하면

\nabla^{2} V = 2 - 2 + 2 = 2

가 되므로

0

이 아닙니다. 따라서 라플라스 방정식을 만족하지 않습니다.

V = ρ cos ϕ + z

원통좌표계의 라플라스 방정식을 적용하여 계산하면

\nabla^{2} V = 0

이 되어 라플라스 방정식을 만족하는 함수입니다.

V = \frac{V _{0}}{d} x

직각좌표계에서

x

에 대한 1차 함수이므로 두 번 편미분하면

0

이 되어 라플라스 방정식을 만족하는 함수입니다.

라플라스 방정식이란 무엇인가요?

전하가 없는 진공 또는 유전체 내에서 전위 분포를 구하기 위해 사용하는 편미분 방정식으로,

\nabla^{2} V = 0

으로 표현됩니다.

각 좌표계마다 라플라스 방정식의 형태가 다른가요?

네, 직각좌표계, 원통좌표계, 구좌표계에 따라 라플라시안(

\nabla^{2}

) 연산자의 전개 형태가 다릅니다. 문제에 주어진 변수를 보고 알맞은 좌표계의 공식을 적용해야 합니다.