라플라스변환

전기기사 필기 2017년 2회 78번

$\frac{1}{s+a}$의 역 라플라스 변환은 $e^{-at}$ 입니다.

Q문제

F (s) = \frac{s + 1}{s ^{2} + 2 s}

로 주어졌을 때

F (s)

의 역변환은?

유사 문제 링크

선택지 분석

1/2(1+e^t)

부분분수 전개 시 분모의 근을 잘못 파악하여 지수 함수의 부호를 잘못 적용한 오답입니다.

1/2(1+e^{-2t})

주어진 함수

F (s)

를 부분분수로 전개하여 역 라플라스 변환을 수행합니다.

•

Step 1: 분모를 인수분해하여 부분분수로 나타냅니다.

F (s) = \frac{s + 1}{s ( s + 2 )} = \frac{A}{s} + \frac{B}{s + 2}

•

Step 2: 헤비사이드 전개법을 이용하여 상수 A와 B를 구합니다.

A = \frac{s + 1}{s + 2}_{s = 0} = \frac{1}{2}

B = \frac{s + 1}{s}_{s = - 2} = \frac{- 1}{- 2} = \frac{1}{2}

•

Step 3: 구한 상수를 대입하고 역 라플라스 변환을 적용합니다.

F (s) = \frac{1}{2} (\frac{1}{s} + \frac{1}{s + 2})

이며,

L^{- 1} {\frac{1}{s}} = 1

L^{- 1} {\frac{1}{s + 2}} = e^{- 2 t}

이므로

f (t) = \frac{1}{2} (1 + e^{- 2 t})

입니다.

1/2(1-e^{-t})

부분분수 전개 과정에서 상수의 부호와 분모의 근을 잘못 계산한 오답입니다.

1/2(1-e^{-2t})

부분분수 전개 시 상수 B의 부호를 음수로 잘못 계산한 오답입니다.

부분분수 전개 시 상수 A와 B는 어떻게 구하나요?

헤비사이드 부분분수 전개법을 사용합니다. 구하고자 하는 상수의 분모를 양변에 곱한 뒤, 그 분모가 0이 되는 s값을 대입하여 구합니다.

\frac{1}{s + a}

의 역 라플라스 변환은 무엇인가요?

\frac{1}{s + a}

의 역 라플라스 변환은

e^{- a t}

입니다.