라플라스변환

전기기사 필기 2012년 3회 73번

Q: 부분분수 전개에서 상수 A와 B는 어떻게 구하나요?

헤비사이드(Heaviside) 부분분수 전개법을 사용합니다. 분모의 근이 되는 $s$ 값을 원래 식에서 해당 인수를 제외한 나머지 부분에 대입하여 상수를 계산합니다.

Q: 이 문제에서 사용된 역라플라스 변환의 기본 공식은 무엇인가요?

가장 기본이 되는 지수 함수 변환 공식인 $\mathcal{L}^{-1} \left\{ \frac{1}{s+a} \right\} = e^{-at}$를 사용합니다. 이를 통해 $s$ 도메인의 분수식을 시간 도메인의 지수 함수로 변환할 수 있습니다.

과목 / 챕터	회로이론 및 제어공학 / 회로이론
인지 유형	calculation
난이도	Level 3

Q문제

다음 함수의 역라플라스 변환은?

\frac{2 s + 3}{( s + 1 ) ( s + 2 )}

유사 문제 링크

2011-3-q72 2014-2-q64 2016-3-q72 2004-2-q77 2005-2-q64

선택지 분석

e^{- t} + e^{- 2 t}

정답 상세 해설

주어진 함수의 역라플라스 변환을 구하기 위해 부분분수 전개를 수행하면

e^{- t} + e^{- 2 t}

가 도출됩니다.

•

Step 1: 주어진 함수

F (s) = \frac{2 s + 3}{( s + 1 ) ( s + 2 )}

를 부분분수로 전개하기 위해

F (s) = \frac{A}{s + 1} + \frac{B}{s + 2}

로 설정합니다.

•

Step 2: 상수

A

를 구합니다.

A = \frac{2 s + 3}{s + 2}_{s = - 1} = \frac{2 ( - 1 ) + 3}{- 1 + 2} = \frac{1}{1} = 1

입니다.

•

Step 3: 상수

B

를 구합니다.

B = \frac{2 s + 3}{s + 1}_{s = - 2} = \frac{2 ( - 2 ) + 3}{- 2 + 1} = \frac{- 1}{- 1} = 1

입니다.

•

Step 4: 구한 상수를 대입하면

F (s) = \frac{1}{s + 1} + \frac{1}{s + 2}

가 됩니다.

•

Step 5: 각 항에 대해 역라플라스 변환 공식

L^{- 1} {\frac{1}{s + a}} = e^{- a t}

를 적용합니다. 따라서

L^{- 1} {\frac{1}{s + 1}} = e^{- t}

이고,

L^{- 1} {\frac{1}{s + 2}} = e^{- 2 t}

입니다.

•

Step 6: 최종적으로 두 항을 더하면 역라플라스 변환 결과는

e^{- t} + e^{- 2 t}

가 됩니다.

e^{- t} - e^{- 2 t}

오답 함정 분석

부분분수 전개 과정에서 두 번째 항의 분자 상수를 -1로 잘못 계산한 오답입니다.

e^{- t} - 2 e^{- 2 t}

오답 함정 분석

부분분수 전개 과정에서 두 번째 항의 분자 상수를 -2로 잘못 계산한 오답입니다.

e^{- t} + 2 e^{- 2 t}

오답 함정 분석

부분분수 전개 과정에서 두 번째 항의 분자 상수를 2로 잘못 계산한 오답입니다.

자주 묻는 질문

부분분수 전개에서 상수 A와 B는 어떻게 구하나요?

헤비사이드(Heaviside) 부분분수 전개법을 사용합니다. 분모의 근이 되는

s

값을 원래 식에서 해당 인수를 제외한 나머지 부분에 대입하여 상수를 계산합니다.

이 문제에서 사용된 역라플라스 변환의 기본 공식은 무엇인가요?

가장 기본이 되는 지수 함수 변환 공식인

L^{- 1} {\frac{1}{s + a}} = e^{- a t}

를 사용합니다. 이를 통해

s

도메인의 분수식을 시간 도메인의 지수 함수로 변환할 수 있습니다.

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