라플라스변환

전기기사 필기 2017년 2회 70번

Q: 단위 임펄스 응답을 구할 때 입력 $X(s)$는 어떻게 되나요?

단위 임펄스 함수 $\delta(t)$의 라플라스 변환은 1입니다. 따라서 $X(s)=1$이 되며, 출력 $Y(s)$는 전달함수 $G(s)$와 동일하게 됩니다.

Q: 부분분수 전개 시 중근이 있는 경우는 어떻게 계산하나요?

분모에 $s^2$과 같은 중근이 포함된 경우, $\frac{A}{s} + \frac{B}{s^2}$ 형태로 차수를 높여가며 항을 설정하여 계수를 구해야 합니다.

과목 / 챕터	회로이론 및 제어공학 / 회로이론
인지 유형	calculation
난이도	Level 3

Q문제

전달함수가

G (s) = \frac{Y ( s )}{X ( s )} = \frac{1}{s ^{2} ( s + 1 )}

로 주어진 시스템의 단위 임펄스 응답은?

유사 문제 링크

2004-2-q79 2012-3-q78 2011-3-q76 2017-2-q78 2018-2-q71

선택지 분석

y (t) = 1 - t + e^{- t}

오답 함정 분석

부분분수 전개 시 계수의 부호를 잘못 계산하여 도출된 오답입니다.

y (t) = 1 + t + e^{- t}

오답 함정 분석

부분분수 전개 시 상수항의 부호를 잘못 계산하여 도출된 오답입니다.

y (t) = t - 1 + e^{- t}

정답 상세 해설

단위 임펄스 입력

x (t) = δ (t)

의 라플라스 변환은

X (s) = 1

이므로, 출력

Y (s)

는 전달함수

G (s)

와 같습니다.

•

Step 1:

Y (s) = \frac{1}{s ^{2} ( s + 1 )}

를 부분분수로 전개합니다.

Y (s) = \frac{A}{s} + \frac{B}{s ^{2}} + \frac{C}{s + 1}

로 설정합니다.

•

Step 2: 양변에

s^{2} (s + 1)

을 곱하여 계수를 구합니다.

1 = A s (s + 1) + B (s + 1) + C s^{2}

s = 0

을 대입하면

B = 1

입니다.

s = - 1

을 대입하면

C = 1

입니다.

s^{2}

의 계수를 비교하면

A + C = 0

이므로

A = - 1

입니다.

•

Step 3: 구한 계수를 대입하여 역라플라스 변환을 수행합니다.

Y (s) = - \frac{1}{s} + \frac{1}{s ^{2}} + \frac{1}{s + 1}

y (t) = - 1 + t + e^{- t} = t - 1 + e^{- t}

가 됩니다.

y (t) = t - 1 - e^{- t}

오답 함정 분석

부분분수 전개 시 지수함수 항의 부호를 잘못 계산하여 도출된 오답입니다.

자주 묻는 질문

단위 임펄스 응답을 구할 때 입력

X (s)

는 어떻게 되나요?

단위 임펄스 함수

δ (t)

의 라플라스 변환은 1입니다. 따라서

X (s) = 1

이 되며, 출력

Y (s)

는 전달함수

G (s)

와 동일하게 됩니다.

부분분수 전개 시 중근이 있는 경우는 어떻게 계산하나요?

분모에

s^{2}

과 같은 중근이 포함된 경우,

\frac{A}{s} + \frac{B}{s ^{2}}

형태로 차수를 높여가며 항을 설정하여 계수를 구해야 합니다.

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