전계

전기기사 필기 2016년 3회 2번

Q문제

선전하밀도

ρ [C / m]

를 갖는 코일이 반원형의 형태를 취할 때, 반원의 중심에서 전계의 세기를 구하면 몇

V / m

인가? (단, 반지름은

r [m]

이다.)

유사 문제 링크

선택지 분석

\frac{ρ}{8 π ϵ _{0} r ^{2}}

적분 과정에서 계수 계산을 잘못하거나 원형 선전하의 중심 전계 공식을 잘못 적용한 오답입니다.

\frac{ρ}{4 π ϵ _{0} r}

적분 결과인 2를 곱하지 않고 미소 전계의 계수를 그대로 사용하여 도출된 오답입니다.

\frac{ρ}{4 π ϵ _{0} r ^{2}}

전계의 세기 공식에서 분모의 거리 항을 1차원(r)이 아닌 2차원(r^2)으로 잘못 적용한 오답입니다.

\frac{ρ}{2 π ϵ _{0} r}

반원형 선전하에 의해 중심에서 발생하는 전계의 세기는 대칭성에 의해 특정 방향 성분만 남게 되며, 적분을 통해 구할 수 있습니다.

•

Step 1: 반원 위의 미소 길이

d l

에 포함된 미소 전하량

d q

를 구합니다. 각도

θ

를 이용하면

d l = r d θ

이므로,

d q = ρ d l = ρ r d θ

가 됩니다.

•

Step 2: 미소 전하

d q

가 중심에 만드는 미소 전계의 세기

d E

를 구합니다.

d E = \frac{d q}{4 π ϵ _{0} r ^{2}} = \frac{ρ r d θ}{4 π ϵ _{0} r ^{2}} = \frac{ρ d θ}{4 π ϵ _{0} r}

입니다.

•

Step 3: 대칭성에 의해 중심에서의 전계는 반원을 이등분하는 축(y축) 방향 성분만 남고, x축 방향 성분은 서로 상쇄됩니다. 따라서 y축 성분

d E_{y} = d E sin θ

를

0

부터

π

까지 적분합니다.

•

Step 4:

E = \int_{0}^{π} d E sin θ = \int_{0}^{π} \frac{ρ s i n θ}{4 π ϵ _{0} r} d θ = \frac{ρ}{4 π ϵ _{0} r} [- cos θ]_{0}^{π} = \frac{ρ}{4 π ϵ _{0} r} (1 - (- 1)) = \frac{2 ρ}{4 π ϵ _{0} r} = \frac{ρ}{2 π ϵ _{0} r}

가 됩니다.

왜 x축 방향의 전계 성분은 상쇄되나요?

반원형 선전하는 중심축을 기준으로 좌우 대칭으로 분포하고 있습니다. 따라서 중심축을 기준으로 대칭되는 두 미소 전하가 중심에 만드는 전계의 x축 성분은 크기가 같고 방향이 반대이므로 서로 상쇄됩니다.

완전한 원형 선전하의 중심에서 전계의 세기는 어떻게 되나요?

완전한 원형 선전하의 경우, 모든 방향에서 발생하는 전계가 중심에서 서로 상쇄되므로 중심에서의 전계의 세기는 0이 됩니다.