전기력선

전기기사 필기 2003년 2회 5번

Q: 전위 분포가 주어졌을 때 전계는 어떻게 구하나요?

전계는 전위의 기울기(Gradient)에 음의 부호를 붙여 구합니다. 즉, $\mathbf{E} = -\nabla V$ 공식을 사용하여 각 좌표축 방향으로 편미분하여 계산합니다.

과목 / 챕터	전기자기학 / 진공 중의 정전계
인지 유형	calculation
난이도	Level 3

Q문제

V = x^{2} + y^{2} [V]

의 전위 분포를 갖는 전계의 전기력선의 방정식은? (단,

A

는 임의의 상수이다.)

유사 문제 링크

2016-2-q9 2003-2-q8 2004-1-q11 2016-1-q18 2016-1-q16

선택지 분석

y = \frac{A}{x}

오답 함정 분석

전기력선의 방정식 적분 과정에서 로그 함수의 성질을 잘못 적용하여 반비례 관계로 도출한 오답입니다.

y = A x

정답 상세 해설

전위 분포

V = x^{2} + y^{2}

에서 전계

E

를 구하고, 전기력선의 방정식을 통해

y = A x

를 도출합니다.

•

Step 1: 전계

E

구하기 전계는 전위의 기울기(Gradient)에 음의 부호를 취한 값입니다.

E = - \nabla V = - (\frac{\partial V}{\partial x} i + \frac{\partial V}{\partial y} j)

V = x^{2} + y^{2}

이므로 편미분하면 다음과 같습니다.

E_{x} = - 2 x

E_{y} = - 2 y

따라서

E = - 2 x i - 2 y j

입니다.

•

Step 2: 전기력선의 미분 방정식 세우기 전기력선의 방정식은

\frac{d x}{E _{x}} = \frac{d y}{E _{y}}

입니다. 구한 전계 성분을 대입하면

\frac{d x}{- 2 x} = \frac{d y}{- 2 y}

가 되며, 양변을 -2로 나누면

\frac{d x}{x} = \frac{d y}{y}

가 됩니다.

•

Step 3: 미분 방정식 적분하여 해 구하기 양변을 적분하면

\int \frac{1}{x} d x = \int \frac{1}{y} d y

가 됩니다.

ln x = ln y + C^{'}

(단,

C^{'}

는 적분 상수) 이를

y

에 대해 정리하면

ln y = ln x - C^{'}

가 되고, 지수 형태로 변환하면

y = e^{- C^{'}} x

가 됩니다. 이때

e^{- C^{'}}

를 임의의 상수

A

로 치환하면 최종적으로

y = A x

가 됩니다.

y = A x^{2}

오답 함정 분석

전계 성분의 비를 잘못 계산하거나 적분 과정에서 차수를 잘못 올려 2차 함수 형태로 도출한 오답입니다.

\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = A

오답 함정 분석

미분 방정식

\frac{d x}{x} = \frac{d y}{y}

를 적분할 때 로그 함수가 아닌 다항 함수로 잘못 적분하여 도출한 오답입니다.

자주 묻는 질문

전위 분포가 주어졌을 때 전계는 어떻게 구하나요?

전계는 전위의 기울기(Gradient)에 음의 부호를 붙여 구합니다. 즉,

E = - \nabla V

공식을 사용하여 각 좌표축 방향으로 편미분하여 계산합니다.

전기력선의 방정식은 어떤 의미를 가지나요?

전기력선의 방정식은 전계 벡터와 전기력선의 접선 벡터가 평행하다는 성질을 이용한 것입니다. 2차원 직교 좌표계에서는

\frac{d x}{E _{x}} = \frac{d y}{E _{y}}

로 표현됩니다.

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