라플라스변환

전기기사 필기 2015년 3회 74번

$\frac{1}{s+a}$의 라플라스 역변환은 $e^{-at}$입니다. 분모의 상수항 부호와 지수의 부호가 반대임에 주의해야 합니다.

Q문제

74. 다음 함수의 라플라스 역변환은?

I (s) = \frac{2 s + 3}{( s + 1 ) ( s + 2 )}

유사 문제 링크

선택지 분석

e^{- t} - e^{- 2 t}

부분분수 전개 시 계수의 부호를 잘못 계산하여 도출된 오답입니다.

e^{t} - e^{- 2 t}

부분분수 전개 오류 및 라플라스 역변환 공식의 지수 부호를 반대로 적용한 오답입니다.

e^{- t} + e^{- 2 t}

주어진 함수

I (s) = \frac{2 s + 3}{( s + 1 ) ( s + 2 )}

를 부분분수로 전개하여 라플라스 역변환을 수행하면

e^{- t} + e^{- 2 t}

가 됩니다.

•

Step 1: 주어진 함수를 부분분수로 전개합니다.

I (s) = \frac{2 s + 3}{( s + 1 ) ( s + 2 )} = \frac{A}{s + 1} + \frac{B}{s + 2}

로 둡니다.

•

Step 2: 양변에

(s + 1) (s + 2)

를 곱하여 계수 A와 B를 구합니다.

2 s + 3 = A (s + 2) + B (s + 1)

s = - 1

을 대입하면,

2 (- 1) + 3 = A (- 1 + 2)

이므로

A = 1

입니다.

s = - 2

를 대입하면,

2 (- 2) + 3 = B (- 2 + 1)

이므로

B = 1

입니다. 따라서

I (s) = \frac{1}{s + 1} + \frac{1}{s + 2}

입니다.

•

Step 3: 각 항에 대해 라플라스 역변환 공식을 적용합니다.

L^{- 1} {\frac{1}{s + a}} = e^{- a t}

공식을 이용합니다.

L^{- 1} {\frac{1}{s + 1}} = e^{- t}

L^{- 1} {\frac{1}{s + 2}} = e^{- 2 t}

결과적으로

i (t) = e^{- t} + e^{- 2 t}

가 됩니다.

e^{t} + e^{- 2 t}

라플라스 역변환 공식 적용 시 지수의 부호를 양수로 잘못 적용한 오답입니다.

부분분수 전개는 어떤 경우에 사용하나요?

분모가 여러 개의 1차식의 곱으로 인수분해될 때, 복잡한 분수식을 간단한 분수식의 합으로 나누어 라플라스 역변환을 쉽게 하기 위해 사용합니다.

라플라스 역변환 공식 중

\frac{1}{s + a}

는 어떻게 변환되나요?

\frac{1}{s + a}

의 라플라스 역변환은

e^{- a t}

입니다. 분모의 상수항 부호와 지수의 부호가 반대임에 주의해야 합니다.