전류에 관련된 제현상

전기기사 필기 2015년 3회 13번

Q문제

한변의 저항이

R_{0}

인 그림과 같은 무한히 긴 회로에서

A B

간의 합성저항은 어떻게 되는가?

유사 문제 링크

선택지 분석

(2 - 1) R_{0}

2차 방정식의 근의 공식을 잘못 적용하거나, 회로의 병렬 및 직렬 구조를 다르게 해석하여 도출된 오답입니다.

(3 - 1) R_{0}

무한히 긴 회로의 특성을 이용하여 합성저항을 구하는 문제입니다. 회로가 무한히 반복되므로, 전체 합성저항을

R_{x}

라고 할 때 일정 구간을 제외한 나머지 무한 회로의 합성저항 역시

R_{x}

가 됩니다.

•

Step 1: 주어진 회로는 입력단 A-B 사이에 저항

R_{0}

가 병렬로 연결되어 있고, 그 뒤로 직렬 저항

R_{0}

2개(위, 아래)와 다시 무한 회로가 반복되는 구조입니다. 따라서 C-D 단자 우측의 무한 회로 합성저항도 전체 합성저항과 같은

R_{x}

가 됩니다.

•

Step 2: 전체 합성저항

R_{x}

는 A-B 사이의 저항

R_{0}

와, 그 우측의 직렬 저항 2개(

2 R_{0}

) 및 나머지 무한 회로(

R_{x}

)가 병렬로 연결된 형태입니다. 이를 수식으로 나타내면 다음과 같습니다.

R_{x} = \frac{R _{0} \cdot ( R _{0} + R _{x} + R _{0} )}{R _{0} + ( R _{0} + R _{x} + R _{0} )} = \frac{R _{0} ( 2 R _{0} + R _{x} )}{3 R _{0} + R _{x}}

•

Step 3: 위 식을 정리하여 2차 방정식을 풉니다.

R_{x} (3 R_{0} + R_{x}) = 2 R_{0}^{2} + R_{0} R_{x}

이므로

R_{x}^{2} + 2 R_{0} R_{x} - 2 R_{0}^{2} = 0

이 됩니다. 근의 공식을 적용하면

R_{x} = \frac{- 2 R _{0} \pm ( 2 R _{0} ) ^{2} - 4 ( 1 ) ( - 2 R _{0}^{2} )}{2} = (- 1 \pm 3) R_{0}

입니다. 저항값은 양수이어야 하므로, 최종 합성저항은

R_{x} = (3 - 1) R_{0}

입니다.

\frac{2}{3} R_{0}

무한 회로의 반복성을 고려하지 않고 유한한 개수의 저항만으로 단순 병렬 계산을 수행한 오답입니다.

\frac{3}{4} R_{0}

무한 회로의 점화식 구조를 세우지 못하고 임의의 비율로 합성저항을 추정한 오답입니다.

무한 회로에서 나머지 부분의 저항을 전체 저항과 같다고 두는 이유는 무엇인가요?

회로가 무한히 반복되기 때문에, 맨 앞의 한 단계를 제외하더라도 남은 회로 역시 무한히 길어 원래의 전체 회로와 전기적으로 완전히 동일한 구조를 가지기 때문입니다.

2차 방정식에서 음수 해를 버리는 이유는 무엇인가요?

물리적으로 저항값은 0보다 커야 하므로, 수학적인 해 중에서 양수인 값만 실제 합성저항으로 채택합니다.